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Géométrie

Publié le 26 oct. 2017

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Le  jeudi 26 octobre 2017

Spirographe

Modéliser la courbe formée par un objet en rotation.

  • Spirographe

     

     

     

     

    Présentation de l'activité


     

    Le spirographe est une marque déposée par Hasbro. Il s'agit d'un instrument de dessin permettant de tracer des courbes complexes. On place la pointe d'un stylo dans un trou d'une roue dentée, puis on entraîne cette roue à l'intérieur d'une autre roue dentée.

     

    Le but de l'activité est de modéliser la position du stylo pendant le mouvement de rotation, puis en salle info, de tracer les courbes obtenues. On pourra faire varier les rayons des roues ainsi que la position du stylo pour obtenir différentes courbes.

     

     

    Deux méthodes de tracé sont possibles :

     

    • par transformations géométriques (rotations, l'objet de cet article),

     

    • par courbe paramétrée utilisant les fonctions trigonométriques (en prolongement en terminale).

     

     

     

     

     

    Public


     

     En 2de : à l'occasion de l'enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique, ou en 1ereS pour réinvestir le radian.

     

     

     

     

     

    Objectifs


     

     - Institutionnaliser le lien entre longueur d'arc de cercle, angle au centre et rayon.

     

     - Réinvestir les transformations du plan vues au collège (rotation notamment, au programme du collège depuis la réforme en vigueur à la rentrée 2016).

     

    - Prolongement possible en arithmétique

     

     

     

     

     

    Prérequis


     

     - Rotations dans le plan (2de)

     

     - Cette activité peut être utilisée comme découverte ou comme réinvestissement de l'enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique (conseillé) (2de)

     

     

     

     

     

    Déroulement de l'activité


     

    L'activité se déroule en deux phases. Une première, débranchée, vise à obtenir la modélisation de la position de la pointe du stylo. Une seconde, en salle info, vise à tracer les courbes obtenues à l'aide d'un grapheur, GeoGebra permettant facilement le tracé par les deux méthodes. Avec une bonne 1ere, cela peut être mené en 1h.

     

    Pour que l'activité soit facilement accessible, il est conseillé de commencer par supposer que le stylo est sur la circonférence du petit cercle. On peut alors différencier en proposant comme prolongement que le stylo a une position quelconque dans le petit disque. Une autre possibilité de différentiation est de fixer ou non les rayons des deux cercles.

     

    La modélisation géométrique peut être proposée comme sur cette figure :

     

     

     

    modèle géométrique

     



    Dans cette figure, le grand cercle a pour rayon R = 4 et centre O, le petit un rayon r = 1 et le centre est B. M est le point de contact des deux cercles.   

     
    On suppose que le stylo est en N. Au démarrage du mouvement, les points M, N et A sont confondus


    Après le démarrage, on repère la position des points B et M par l'angle α, et la position du point N par l'angle β.

     

     

     

    Première partie

     

    On demande de déterminer la position du point N en fonction de l'angle α.



    Comment repérer la position du point N? Il s'agit de faire émerger que la connaissance de l'angle β pour une valeur donnée de α suffit. On peut alors trouver le point M en utilisant des rotations.

     

    La rotation se faisant sans glissement, les longueurs d'arc AM et MN sont égales. On utilise alors la définition du radian pour faire un lien entre les angles et les rayons: β=4α pour les rayons de la figure.

     

    Le point N est alors issu de la rotation de M d'angle -β autour de B, M est lui même issu de la rotation de A d'angle α autour de O.

     

    Les points M et N sont ainsi définis à partir de la donnée de l'angle α.

     

    Résumé de la construction à obtenir:

     

    - On se donne un angle α, de combien le stylo a tourné. Le stylo faisant plusieurs tours de cercles, l'angle α va parcourir un intervalle entre 0 et plusieurs fois 2π.

     

    - Le point M (point de tangence du grand cercle et du petit cercle qui tourne en son intérieur) est la rotation du point A, de centre O, d'angle α.

     

    - Le point N (position du stylo) est la rotation du point M autour de B (centre du cercle intérieur) d'angle -β, ce dernier angle étant déterminé en fonction du rapport des rayons des deux cercles (β=R/r α).

     

     Il est important de diriger la construction par l'angle α, car celui-ci peut dépasser 2π. Si on se contente de mesurer l'angle AOM, celui-ci repassera à 0 à chaque tour du crayon et on n'obtiendra qu'un tour du spirographe.

     

     

     

    Deuxième partie

     

    Avec GeoGebra, on crée un curseur pour α, entre 0 et x (en radians ou degrés, peu importe, mais il faut que cela fasse plusieurs tours), définir M comme rotation de A autour de O d'angle α, le stylo est la rotation de M d'angle - β autour de B, centre du petit cercle. Ce dernier est crée par un cercle caché de centre M. Il ne reste plus qu'à activer la trace du point N et animer le curseur.

     

     

     

     

     

    Prolongements

     

    - Obtenir une construction où les rayons du petit et du grand cercle sont réglables par curseurs.

     

    - Placer le stylo à l'intérieur du cercle intérieur (et non à sa circonférence).

     

    - Arithmétique (possible uniquement si des élèves ont codé la version avec rayons variables) : il semble que la courbe reproduise plusieurs fois le même motif avant de reboucler sur elle-même. Peut-on prévoir combien de motifs (en fonction des rayons des cercles) ? Une histoire de multiples...

     

    - En terminale ou avec une bonne première, utiliser les fonctions trigonométriques pour obtenir une courbe paramétrée: c'est hors programme, mais facile à coder sous GeoGebra avec la commande: Courbe[x(t),y(t),t,tmin,tmax].

     

     

     

     

     

     Fichiers fournis


     

    - spirographev0.ggb : version avec rayons réglables par curseurs.