Espace et géométrie

Publié le 21 juin 2013 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  vendredi 21 juin 2013

Une cible triangulaire et 9 fléchettes

Un triangle et 9 points intérieurs

  • Présentation de l’activité

    On dispose d’une cible triangulaire quelconque. On jette 9 fléchettes atteignant toutes la cible.

    On s’intéresse aux triangles formés à partir des fléchettes sur la cible.

    Dans ces conditions, on peut toujours obtenir au moins un triangle dont l’aire est inferieure au quart de l’aire de la cible.

    Conditions de mise en oeuvre

    5e - 4e

    Objectifs
    Mathématiques

    • Propriété de la médiane en 5e.
    • Théorème des milieux, aire d’un triangle en 4e.

    Informatiques : utiliser un logiciel de géométrie dynamique

    B2i : C.3.6 : Je sais utiliser un outil de simulation (ou de modélisation) en étant conscient de ses limites.

    Déroulement de l’activité

    Selon le niveau envisagé, on peut travailler sur 9 fléchettes en 5e et 7 en 4e.

    Il s’agit avant tout pour les élèves de s’approprier le problème et c’est en cela que le logiciel de géométrie va être utile, en utilisant notamment la fonction "Aire"

    Triangle 9 Pt - presentation - light
    Appropriation de la situation

     

    Cette phase d’expérimentation est nécessaire pour saisir les enjeux de la démonstration. Il est à remarquer qu’ici la phase d’expérimentation ne mettant pas les élèves sur la voie de la démonstration, un temps de discussion pourra être élaboré autour de la différence entre expérimentation et démonstration (voir Séminaire Rencontre de l’Orme 2010 sur le site)

    Le dénombrement pour démontrer

    En 5e : "Le fait que chaque médiane d’un triangle le partage en deux triangles de même aire est démontré". On découpe la cible en 4 triangles de même aire (1/4 de la cible). Il s’agit alors d’étudier le cas le plus défavorable, illustré ci-dessous.

    Ainsi avec 9 fléchettes, 3 fléchettes se retrouveront forcément dans un même triangle d’aire égale à un quart de la cible.

    En 4e : De même, on utilisera, par exemple, le théorème des milieux pour comprendre que chacun des triangles découpés a une aire égale au quart du triangle de départ. Puis concernant le parallélogramme, il faudra remarquer que 3 points pris dans le parallélogramme donneront un triangle dont l’aire sera forcément inferieure à la moitié de l’aire du parallélogramme donc à nouveau 1/4. Le travail autour de ce cas particulier, peut faire l’objet d’une préparation en amont. Vous trouverez en pièce jointe le détail de la démonstration.

    Triangle 9 Pt 7pt
    Découpage de la cible en 5e et 4e


    En documents complémentaires au format PDF, vous trouverez :

    Parallelogramme et 3 points,
    quelques pistes de réflexion autour de la démonstration

    Pour aller plus loin

    Il est à noter que ce problème peut encore se réduire à 5 fléchettes. Vous trouverez dans le document joint la démonstration complète.

    Cible triangulaire et 5 fléchettes Démonstration réalisée par Pierrick Bouttier