Vous êtes ici  :   Accueil > Ressources Lycée > Fonctions

Fonctions

Publié le 12 oct. 2017

Écrire à l'auteur

Le  jeudi 12 octobre 2017

Un problème d'aire

Résolution graphique et algébrique d'une équation

  • Un problème d'aire

     

     

     

    Présentation de l'activité


     

    [AB] est un segment de longueur 10 cm et M est un point variable de ce segment distinct de A et de B.

     

     

    Pour chaque position du point M, on construit le carré AMCD et le triangle MEB rectangle en M tel que AM = ME.

     


    L’objectif est de savoir s’il existe une ou plusieurs positions du point M telles que les aires du carré AMCD et du triangle BME sont égales.

     

     

     

     

    Public


     

    Cette situation peut être proposée à des élèves de 2de.

     

     

     

     

    Objectifs


     

    - Modéliser un problème par une mise en équation.

     

    - Résoudre une équation graphiquement (calculatrice, logiciel) et algébriquement.

     

     

     

     

    Prérequis


     

    - Développer et factoriser une expression littérale (pour la résolution algébrique).

     

    - Résoudre une équation produit nul (pour la résolution algébrique).

     


     

     

    Déroulement de l'activité


     

    1er temps : résolution numérique expérimentale

     

     

    En préalable à l'algébrisation du problème, on pourra :

     

    - demander aux élèves de retrouver les calculs affichés par Géogébra lorsque AM = 2,5.

     

    - réitérer les calculs pour d'autres valeurs de AM.

     

    - utiliser le tableur, comme médiateur vers l'algébrisation

     

     

     

     

    2e temps : mise en équation du problème

     

     

    On mènera les élèves vers une mise en équation du problème. On pourra questionner les élèves :

     

    - Exprimer l’aire du carré AMCD en fonction de AM = x.

     

    - Exprimer l’aire du triangle BME en fonction de x.

     

    - Écrire une équation traduisant le fait que l’aire du carré AMCD est égale à l’aire du triangle BME.

     

    - Savez-vous résoudre cette équation ?

     

    La résolution algébrique de l'équation x² = x ( 10 - x ) /2 s'avère problématique pour un grand nombre d'élèves.

     

     

     

     

    3e temps : résolution graphique de l'équation

     

     

    Grâce à l'outil "trace" de GeoGebra, on peut visualiser graphiquement les variations de l'aire du carré et du triangle en fonction de la longueur AM.

     

    On distribue aux élèves les représentions graphiques des fonctions.

     

     

    Representations graphiques

     

     

    On pourra questionner les élèves :

     

    - Est-il possible de trouver la solution au problème en utilisant ces représentations graphiques ?

     

    - Cette solution est-elle une valeur exacte ou approchée ? Comment le vérifier ?

     

    On concluera sur les limites de la résolution graphique.

     

    On pourra profiter de l'occasion pour montrer comment il est possible d'obtenir les représentations graphiques de ces fonctions à l'aide d'une calculatrice graphique et trouver une meilleure valeur approchée de la solution.


     

     

     

    4e temps : contrôle algébrique de la solution et résolution algébrique de l'équation

     

    L'utilisation de la calculatrice graphique permet d'obtenir une valeur approchée de la solution qui permet de conjecturer sa valeur exacte : 10/3.

     

    On contrôlera cette solution. Ce sera l'occasion de réinvestir du calcul avec des nombres écrits de manière fractionnaire.

     

    On reviendra ensuite sur la résolution algébrique de l'équation et on cherchera à retrouver la même solution.

     

     

     

     

    Documents


     

    - Capture d'écran Géogébra AM = 2,5 cm

     

    - Fichier Géogébra

     

    - Représentations graphiques des fonctions