Statistiques et probabilités

Publié le 4 janv. 2018

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Le  jeudi 4 janvier 2018

Le jeu de Monopoly

Activité d'introduction aux calculs de probabilités (Lycée)

  • Le jeu de Monopoly

     

     

     

    Présentation de l’activité


     

    Le jeu de Monopoly (éditeur Hasbro) est un jeu de plateau où les joueurs lancent deux dés et en font la somme pour obtenir le nombre de cases dont ils doivent avancer sur le plateau.

     

    Les cases avec un bandeau sont des rues, avenue ou boulevard, (de Paris dans cette version du jeu), dont les joueurs peuvent acheter le titre de propriété lorsqu’ils tombent dessus pour la première fois.

     

     

     

     

    Le pion d’Anne est sur la case « DEPART ». Elle lance les deux dés.

     

    Quelle est la probabilité qu’Anne se retrouve sur une case correspondant à une « rue » (c’est-à-dire rue, avenue ou boulevard) ?

     

     

     

     

    Public


     

    Cette situation peut être proposée à des élèves de 2de ou de 1re.

     

     

     

     

    Objectifs


     

    En 2de

     

    - Etre capable de proposer un modèle probabiliste à valider par l’observation de l’évolution des fréquences d’une simulation.

     

    - Introduire les arbres et/ou le tableau à double entrées pour modéliser une expérience aléatoire.

     

    - Mener à bien des calculs de probabilités.

     

     

    En 1re

     

    - Introduire la notion de variable aléatoire et en déterminer la loi.

     

    - Organiser une simulation avec un logiciel pour une répétition d’épreuves identiques et indépendantes pour valider les formules de calcul de probabilités à partir d’un arbre pondéré de probabilités.

     

     

     

     

    Prérequis


     

    Les élèves auront déjà rencontré au collège des expériences aléatoires aux issues équiprobables comme le lancer d’un dé équilibré. Ils auront aussi approché ces probabilités par l’observation de l’évolution des fréquences sur un grand nombre d’épreuves lors d’expérimentations ou de simulations.

     

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

    Conjecture

     

     

    Demander aux élèves de conjecturer la probabilité de tomber sur une case « rue ».

     

    Les propositions qui apparaissent le plus fréquemment sont :

     

    - 1 chance sur 2 (il y a 6 cases « rue » sur les 12 premières cases),

     

    - 5 chances sur 11 (on peut atteindre seulement 11 cases en éliminant la case 1 car on joue avec deux dés, donc on ne peut pas obtenir 1),

     

    - 22 cases sur 41 (l’élève compte toutes les cases rues du plateau sur le nombre de cases).

     

    - en 1re, quelques élèves pensent à dénombrer les combinaisons de dés en faisant des listes, plus rarement des tableaux à double-entrée.

     

     

     

    Phase expérimentale

     

     

    Proposer aux élèves de simuler un grand nombre de fois le lancer de deux dés pour valider ou pas leur conjecture.

     

     

    - 1re possibilité : avec les applications (touche apps) de la calculatrice TI82 ou TI83

     

    On peut choisir le nombre de dés, le nombre de faces des 2 dés, le nombre de lancers et un affichage du diagramme en bâtons des effectifs (FREQ) ou des fréquences (PROB). (Attention : la traduction de TI ne correspond pas au vocabulaire français).

     

     

    simulation TI82     simulation TI82 (2)

     

     

     

    - 2e possibilité : en utilisant le simulateur sur le site homeomath2.imingo.net/simuldeuxdes.htm

     

    simulation en ligne

     

     

     

    Mise en commun

     

     

    Elle portera :

     

    - sur le nombre de lancers nécessaires pour valider ou rejeter l’hypothèse faite sur la probabilité:

     

    • en observant la stabilisation de la fréquence observée ;


    • en utilisant l’intervalle de fluctuation pour valider ou rejeter l’hypothèse faite de 5 sur 11;

     

    - sur le choix d’un modèle d’univers permettant le calcul de probabilités avec l'hypothèse d'équiprobabilité et confirmant les fréquences d’apparition des sommes observées dans l’expérimentation.

     

    On pourra poser la question : "Pour quelle raison le 2 apparaît beaucoup moins souvent que le 6 dans la simulation ?" pour inciter les élèves à s'intéresser au nombre de combinaisons possibles pour obtenir la somme indiquée.

     

     

    Univers 1: les événements élémentaires sont les sommes possibles. (écarté généralement après simulation)

     

     Ω1 = {2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}

     

    Monopoly01

     

     

    Univers 2 : les événements élémentaires sont les paires possibles (absence de distinction des deux dés).

     

    Ω2 = {{1;1},{1;2},{1;3},{1;4},...,{5;5},{5;6},{6;6}}

     

    Monopoly02

     

     

    Univers 3: les évènements élémentaires sont les couples possibles (distinction des deux dés : obtenir (1;2) est différent d'obtenir (2;1))

     

    Ω3 = {(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),...,(5;5),(5;6),(6;1),(6;2),...(6;6)}

     

    Monopoly03

     

     

    Les traces écrites des élèves ne seront pas aussi expertes mais s'appuieront en général sur des décompositions permettant d'obtenir les sommes.

    Par exemple 5 = 1 + 4 = 2 + 3 pour l'univers 2 et 5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1 pour l'univers 3.

     

    En seconde, la validation de l'univers 3 justifie l’usage d’un arbre ou d’un tableau à double entrée qui permet de distinguer toutes les issues possibles de façon équiprobable.

     

    En première, on introduit la variable aléatoire qui permet de passer de l’univers 3 aux issues équiprobables à la somme des dés.Ce passage se justifie par le fait que dans l'univers 3 on peut utiliser la formule "nombre d’issues favorables / nombre total d’issues"  pour déterminer les probabilités d’événements.

     

     

     

     

    Prolongements possibles


     

    Prolongement en 2de

     

     

    Le travail pourra être poursuivi avec les questions suivantes à l’aide d’un bilan intermédiaire distribué aux élèves (voir document joint) :

     

    - Tous les élèves utilisent "nombre d’issues favorables / nombre total d’issues". Dans quelles conditions cette formule peut-elle être utilisée ? Comment reconnait-on une situation d'équiprobabilité ?

     

    - Une élève ajoute des probabilités pour obtenir le résultat. Est-il toujours pertinent d'appliquer cette opération ? (Etude des réunions et des intersections)

     

     

    Prolongement en 1re

     

     

    Lorsqu’un joueur obtient un double, il peut jouer à nouveau. Mais, au 3e double à la suite, il va directement en prison.

     

    On se demandera quelle est la probabilité de faire 3 doubles à la suite, et donc d’aller directement en prison ?

     

    Le modèle validé lors de la 1re partie va permettre de justifier l’organisation d’une simulation avec le tableur et la fonction ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) utilisée deux fois et des boucles conditionnelles (=SI(A2=B2;1;0)) dans les cellules C2, F2, I2 et J2.

     

    Pour copier le contenu de la cellule  B2 sur les 9 999 cellules suivantes sans « tirer » la formule vers le bas, on peut utiliser le collage suivant :

     

    - Se placer sur la cellule B2 et copier.

     

    - Aller dans la zone de sélection entourée en rouge, y taper B3 :B10001 et valider (cela sélectionne la plage tapée).

     

    - Puis dans le menu coller, sélectionner collage spécial « formules ».

     

     

    collerparzone

     

     

    La fonction NB.SI(J2:J10001;"Prison !!!") permet de comptabiliser le nombre de fois où apparaît « Prison !!! » après 3 lancers.

     

     

    simulation pb2

     

     

    Si les élèves éliminent volontiers la conjecture où la probabilité serait de 0,5 d’obtenir 3 doubles après avoir additionné 3 fois la probabilité d’obtenir un seul double, cette simulation permet de confirmer qu’il s’agit bien de multiplier les probabilités lors de la répétition d’expériences.

     

     

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