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OGD, fonctions

Publié le 31 janv. 2018

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Le  mercredi 31 janvier 2018

Les Lyckohjulen du Liseberg

Optimiser des gains autour d'une expérience aléatoire

  • Les roues de la fortune

     

     

     

     

    Présentation de l’activité


     

    Dans un parc d’attraction, on trouve plusieurs stands « Roue de la fortune ».

     

    Les visiteurs peuvent y miser un jeton et choisir un nombre entre 1 et 20.

     

    On lance la roue et si celle-ci s’arrête sur le bon numéro, le joueur remporte 4,5 kg de chocolat.

     

     

    Le directeur du parc souhaite savoir s’il est possible d’accroitre les bénéfices dégagés par ces jeux.

     

     

     

     

    Public


     

    Cette situation s'adresse à des élèves de 4e ou 3e.

     

     

     

     

    Objectifs


     

     

    - Prévoir l'incertain.

     

    - Conjecturer, utiliser puis expérimenter que lorsqu'une expérience aléatoire est réalisée un grand nombre de fois, la fréquence d'un événement est proche de sa probabilité.

     

    - Etudier des grandeurs qui varient.

     

     

     

     

    Pré-requis


     

    Mathématiques

     

    - Notion de probabilité (début de cycle 4)

     

     

    T.I.C.E.

     

    - Saisir une formule dans un tableur et/ou programmer un algorithme avec Scratch (boucles, variables)

     

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

    Présentation

     

    Lors de la présentation de la situation aux élèves, certaines informations ne sont pas données. On les incite ainsi à s’interroger sur les données nécessaires à la résolution du problème. Un tel choix permet une meilleure dévolution de la question.

     

    Pour présenter la situation, on pourra s'appuyer sur une Roue de la fortune (Fichier Géogébra).

     

     

     

     

     Temps de recherche #1

     

    Les élèves sont mis en situation de recherche. À la demande on communiquera :

     

    - Le prix d’un jeton : « Actuellement, il est de 1,50 €. »

     

    - Le nombre hebdomadaire de joueurs : « Il dépend du prix du jeton. Actuellement, il est d'environ 15 000 mais à chaque fois que le prix du jeton a été augmenté de 10 centimes, le nombre de joueurs a baissé de 1 000. » (C'est ici que les élèves prennent conscience que le prix du jeton est la variable sur laquelle ils vont pouvoir jouer pour espérer accroitre le bénéfice.)

     

    - Le nombre hebdomadaire de gagnants : « Actuellement, il est d'environ 750. »

     

    - Le prix d’achat d’un lot : «  Les 4,5 kg de chocolat sont achetés à 25 €, tarif non négociable »

     

    Disposant alors de toutes les données pour le faire, les élèves calculent le bénéfice actuel.

     

     

     

    Temps de recherche #2

     

    On relance le travail : « Peut-on faire augmenter ce bénéfice ? Comment ? »

     

    Les élèves augmentent (ou diminuent - dans ce cas le nombre de joueurs va augmenter de 1 000) le prix du jeton de 10 centimes.

     

    Lorsque cela s'avère nécessaire, on guide alors l’animation à l’aide de questions cruciales :

     

    - « Qu'est-ce qui vous empêche de calculer ce nouveau bénéfice ? »

     

    - « Pourrait-on, à l'aide d'un calcul simple, prévoir le nouveau nombre hebdomadaire de gagnants ? Comment ? » (C'est LE moment important du problème.)

     

    - « Gagne t-on souvent à ce jeu ? »

     

    Ces questions permettent aux élèves de conjecturer, par eux même, le fait qu’il doit y avoir, 1/20 des joueurs qui doit être gagnant. Ils disposent ainsi de toutes les données pour calculer le nouveau bénéfice et ils constatent que celui-ci a varié.

     

     

     

    Bilan intermédiaire

     

    On mettra en commun les résultats obtenus dans la classe. En particulier, on reviendra sur le calcul permettant de prévoir, à priori, le nombre de gagnants. La validité de cette technique sera contrôlée plus tard dans le problème.

     

     

     

    Temps de recherche #3

     

    On relance à nouveau le travail : "Peut-on encore accroître ce bénéfice ? Jusqu'à combien ?"

     

    La répétition des mêmes procédures de calcul finit par justifier l'utilisation d'un tableur.

     

     

    Roue03

     

     

    Les élèves apportent ainsi une réponse au problème initial. On pourra prolonger le travail des élèves les plus rapides en leur demandant de pousser l'étude au centime d'euro.

     

     

     

    Bilan intermédiaire

     

    Avec l'aide de la classe, au vidéoprojecteur, on reconstruit une feuille de calcul et on mettra en avant que le nombre de gagnants doit probablement être autour de 1/20 du nombre de joueurs (C2 = B2/20).

     

     

     

    Temps de recherche #4

     

    On revient à présent sur la conjecture permettant de prévoir le nombre de gagnants. Dans un premier temps, on pourra travailler sur un nombre de joueurs choisi par le professeur. Par exemple : « Comment vérifier si, quand il y a 15 000 joueurs, il y a bien 750 gagnants par semaine ? Le nombre de gagnants peut-il varier ? Un peu ? Beaucoup ? »

     

    Ainsi, on amène la classe à se poser la question de la réalisation de l’expérience : « jouer 15 000 fois » et éventuellement de la répéter plusieurs fois pour voir d'éventuelles variations des résultats.

     

    On pourra mettre à disposition une Roue de la fortune (Fichier Géogébra).

     

    Après quelques tours de roue, on incitera la classe à simuler l’expérience plus efficacement. Le tableur ou un logiciel de programmation (Scratch) s'avère être, ici, un bon outil.

     

     

    Au tableur

     

    On sera amené à présenter la fonction : ALEA.ENTRE.BORNES( min ; max )

     

    Si nécesaire, on pourra guider les élèves à l'aide de questions :

     

    - « Le nombre choisi par le joueur est-il important ? »

     

    - « Y a-t-il des nombres qu'il serait préférable de choisir pour optimiser ses chances de gagner ? »

     

    - « Comment simuler : le choix de ce nombre ? le résultat donné par la roue ? »

     

    Pour rendre efficace le traitement des données, on pourra être amené à introduire les fonctions :

     

    SI( test logique ; valeur si vrai ; valeur si faux )

     

    NB.SI( plage ; critère )

     

     

    Roue02

     

     

    Il est possible de rafraichir les valeurs données aléatoirement par un tableur : F9 (Excel) et CTRL+MAJ+F9 (Open office).

     

     

    A l'aide de Scratch

     

    On sera amené à présenter le bloc "nombre aléatoire entre (...) et (...)".

     

    « Combien de variables sont mises en jeu ? Lesquelles ? »

     

    - « Quelle valeur faut-il leur affecter ? »

     

     

     Roue04

     

     

    Bilan intermédiaire

     

    Avec l'aide de la classe, au vidéoprojecteur, on revient sur la conception d'une feuille de calcul et/ou d'un programme et sur son utilisation pour apporter des réponses à la question.

     

    Ainsi, on établira que chaque semaine, s'il y a bien 15 000 joueurs, bien que l’expérience soit aléatoire, on n'est pas parvenu à obtenir un nombre de gagnants éloigné de 750.

     

     

     

    Temps de recherche #5

     

    On relance une dernière fois le travail : « Et s'il n'y a pas 15 000 joueurs, aura-t-on toujours environ 1/20 (5%) des joueurs qui seront gagnants ? »

     

    Afin d'étudier la question pour un maximum de nombres de joueurs différents, on pourra répartir dans la classe, par exemple, l'étude de : 20 ; 50 ; 100 ; 200 ; 500 ; 1000 ; 2000 ; 5000 ; 10000 ; 20000 ; 25000 ; 30000 joueurs.

     

    Les élèves modifient leur feuille de calcul ou leur programme pour apporter des réponses à la question.

     

    On confiera aux élèves les plus rapides l'étude de plusieurs cas, en particulier ceux de grands effectifs. On pourra également leur demander de modifier leur programme pour qu'ils puissent étudier rapidement n'importe quel nombre de joueurs. A ce titre, on pourra présenter les "listes" comme un moyen d'enregistrer leurs résultats. On montrera ensuite comment exporter cette liste vers un tableur pour pouvoir la traiter ("clic droit sur la liste" / "exporter" - puis - "clic droit sur le fichier .txt" / "ouvrir avec..." un tableur).

     

     

    Roue05

     

    Roue06

     

     

    Pour chaque étude, on questionnera : "A-t-on toujours environ 5 % de gagnants ? Au minimum, quel pourcentage de gagnants ? Au maximum ?"

     

    Le passage des effectifs aux fréquences va permettre de comparer les variations de l'étendue des résultats. C'est aussi l'occasion de revenir sur des calculs de pourcentage.

     

     

     

    Bilan final

     

    Pour chaque nombre de joueurs étudié, on met en commun les résultats obtenus par la classe : pourcentage minimal et pourcentage maximal de gagnants.

     

     

    Roue07

     

     

    On mettra ainsi en avant que pour des petits nombres de joueurs, on a réussi à obtenir des pourcentages de gagnants très différents de ceux attendus, ce qui n'est plus le cas pour des grands nombres de joueurs.

     

    « Finalement, est-il possible de prévoir avec une bonne précision le nombre de gagnants ? A quelle condition ?»

     

    On institutionnalisera que plus le nombre de joueurs est grand plus le nombre de gagnants se rapproche de 1/20 des joueurs, de la probabilité qu'ils ont de gagner.

     

     

     

     

    Documents utiles


     

    - Roue de la fortune (Fichier .ggb)

     

    - Expérimentation (Fichier .sb2)