Présentation de l'activité

Un couvreur réalise une gouttière en pliant une feuille de zinc en 3 parties égales (comme sur la figure de présentation). Comment réaliser le pliage pour que la capacité de la gouttière soit maximale ?

Public

Tout niveau du lycée général selon les objectifs visés.

Objectifs

Les problèmes d'optimisation sont une catégorie essentielle des problèmes que l'on peut soumettre à des lycéens, en ce qu'ils donnent une raison d'être à l'étude des variations d'une fonction, et donc de la dérivation. Ils impliquent une phase préliminaire de modélisation : "ce problème peut se traduire par trouver le maximum de telle fonction sur tel intervalle". Dans cette activité, la modélisation se fait dans un contexte géométrique.

• En classe de seconde ou de première technologique, cette activité peut être utilisée pour illustrer la dépendance d'une variable en fonction d'une autre et donc servir pour les généralités sur les fonctions. La modélisation et a fortiori la résolution algébrique, sont hors de portée d'élèves de seconde, mais peuvent être menées à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
• En première spécialité ou en début de terminale, les élèves peuvent réaliser la modélisation du problème à l'aide des fonctions trigonométriques. La résolution est encore inaccessible, tant qu'on ne sait pas dériver ces fonctions, mais elle peut être menée à l'aide d'un logiciel de calcul formel.
• En fin de terminale spécialité, la résolution est accessible quoique technique. Le logiciel de calcul formel peut être un support de différentiation.

Prérequis

• En classe de seconde : une aisance minimale dans l'utilisation de GeoGebra. On utilise notamment la deuxième fenêtre graphique où on affiche les variables étudiées, on visualise la courbe de la fonction à optimiser par la fonctionnalité "trace activée".
• En classe de première : savoir utiliser les rapports trigonométriques pour calculer des longueurs dans un triangle ; savoir calculer l'aire d'un trapèze. Il n'est pas nécessaire que les élèves aient déjà manié du calcul formel, cela peut être une occasion de leur faire découvrir.
• En terminale : savoir dériver les fonctions trigonométriques ; avoir déjà rencontré des changements de variables (trouver les zéros de la dérivée implique de résoudre une équation du second degré, où la variable est le cosinus de l'angle de pliage).

Déroulement de l'activité

Vu la variété des objectifs possibles, nous ne proposons pas une activité clé en main, mais plutôt des pistes, à adapter selon vos objectifs.

La phase de modélisation est essentielle à tous les niveaux. Il faut faire vivre un débat amenant à faire comprendre que le problème est d'optimiser l'aire de la section de la gouttière. L'objectif est d'arriver à ce genre de figure qui constitue la première trace écrite :

On peut faire comprendre qu'étant donnée la symétrie du problème, on peut ne s'intéresser qu'à une moitié de la gouttière, mais ce n'a rien d'obligatoire. Le but de la modélisation est de déterminer la position du point C qui rend l'aire de la section (un trapèze) maximale, ce trapèze répondant aux contraintes : BC=BB'=B'C', venant du fait que la feuille de zinc est pliée en trois parties égales. Comment décrire le point C ? Plusieurs pistes sont possibles, comme son abscisse, son ordonnée, l'angle avec lequel on a plié la feuille.

En classe de seconde, la modélisation se fait par géométrie dynamique. Les élèves doivent réaliser un trapèze comme sur la figure plus haut, ce qui peut être fait par exemple en utilisant des cercles, des symétries, des parallèles, le point C étant celui qu'on peut bouger pour choisir la forme de la gouttière. On peut alors choisir plusieurs variables pour décrire la position du point C : abscisse, ordonnée, angle ; et afficher dans la seconde fenêtre graphique un point à la trace activée, dont l'abscisse est la variable choisie et l'ordonnée l'aire du trapèze (qui s'appelle normalement poly1 dans la fenêtre algèbre). Selon la variable choisie on obtient différentes courbes : de gauche à droite, le point C est décrit par son abscisse, son ordonnée, l'angle de pliage (hélas exprimé en radians...) 

Aide technique : si on veut afficher la courbe de l'abscisse de C vs l'aire du trapèze, dans la barre de saisie entrer P=(x(C),poly1) après avoir cliqué sur la deuxième fenêtre pour la rendre active. Il va être nécessaire de régler les axes (bouton déplacer et clic sur les axes). La capture d'écran ci-dessous illustre l'utilisationde la deuxième fenêtre graphique.

Il est intéressant à ce stade de faire vivre le débat sur ces 3 courbes, et de faire remarquer que la deuxième ne correspond pas à une dépendance fonctionnelle. Dans les 3 cas cependant, le maximum est clairement visible et permet de construire la gouttière optimale. A noter : GeoGebra représente les angles en radians, comme on peut le voir sur la courbe de droite. Le radian n'étant vu qu'en première, si vous utilisez cette activité en seconde, il va falloir expliquer qu'il existe une autre unité d'angle, qui sera vu l'année suivante, et donner la formule de conversion.

En classes de première et terminale générale, dans un objectif de réinvestir la trigonométrie, la modélisation est accessible. On introduit l'angle de pliage comme sur cette figure :

On peut alors exprimer l'aire de la section en fonction de l'angle de pliage, proportionnelle à cette fonction :

 En classe de première, la dérivée des fonctions trigonométriques n'étant pas accessibles, on est alors contraint à l'utilisation d'un logiciel de calcul formel. La capture d'écran ci-dessous illustre, avec le module calcul formel de GeoGebra, la création de la fonction, sa dérivée, la résolution des zéros de la dérivée.

On y trouve notre solution entre 0 et π/2 : π/3 

En fin de classe de terminale, on peut mener le problème jusqu'au bout :

Après un peu d'algèbre on peut écrire la dérivée sous cette forme :

Il s'agit d'un trinôme du second degré en cos(α) de discriminant 9 et avec une unique solution positive : 1/2. Le cosinus valant 1/2, il faut donc un angle de 60°.

Prolongement

J'ai toujours été fasciné par cette solution, 60°, qui semble indiquer une solution possible uniquement géométrique basée sur des triangles équilatéraux. Je n'y suis néanmoins pas arrivé. Si un lecteur a une solution de cette nature, merci de faire un mail à l'auteur !