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OGD, fonctions

Publié le Jul 13, 2013 Modifié le : Oct 25, 2017

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Le  Saturday, July 13, 2013

Le petit bain

Un problème d'optimisation pour l'introduction de la notion de fonction.

  • Le petit bain

    Un maître nageur utilise une corde de 150 m de longueur pour délimiter une zone de baignade rectangulaire.

    Comment peut-il placer les piquets?

     

    Public :  classe de troisième (le problème peut toutefois être présenté dès la classe de 6e en visant des objectifs différents et en adaptant le scénario).

    Objectifs :

    • Approcher la notion de fonction sous différentes formes : tableau de valeurs, graphique, algébrique
    • Modéliser une situation, expérimenter, conjecturer
    • Utiliser un tableur-grapheur ou un logiciel de géométrie dynamique (savoir entrer une liste de nombres, savoir écrire une formule, savoir recopier une formule).

    Pré-requis :

    • Aire d'un rectangle.

       

    Ebauche d'un premier scénario :dans le cas d'une première utilisation du tableur.
    • Présenter le problème et laisser quelques minutes aux élèves pour se l'approprier.
      
    • Dans un premier temps il s'agit de produire des zones dont les dimensions satisfont aux contraintes de l'énoncé.
    Schéma plage
       
    • Une première mise en commun permet de mettre en évidence un nombre important de zones possibles. Se pose alors le problème du choix. Sont-elles équivalentes? Y en a t-il une meilleure que les autres?
      
    • Différents critères peuvent être envisagés lors d'un débat; on peut retenir celui de l'aire. Une vérification permet de voir qu'elle n'est pas constante.
        
    • Une phase expérimentale: chercher les dimensions de la zone pour que l'aire soit la plus grande possible. On laisse les élèves libres de leur stratégie.
        
    • Une deuxième mise en commun permet de visualiser un tableau de valeurs. 
        
    • Une représentation graphique, point par point permettra de mieux "voir". Augmenter considérablement le nombre de points est possible par l'utilisation du tableur.
        
    • L'introduction du tableur et son utilisation peuvent dans ce cas être réalisées en vidéoprojection. On mettra les élèves à contribution pour trouver les formules, lire la représentation graphique et principalement la présence d'un axe de symétrie, et affiner la précision du résultat cherché. Ce qui est important c'est d'introduire la notion de formule liée à la fonction étudiée.

     

     

     

       

    Ebauche d'un deuxième scénario : les élèves ont déjà utilisé un tableur.

     

    • Le début reste inchangé.

     

    • Lors de la phase expérimentale, dès que le besoin s'en fera sentir, on mettra à disposition des élèves un tableur grapheur.
         
    • Chaque groupe pourra alors mener à bien sa recherche et établir ses conclusions, tout au moins partiellement.

     

    La valeur proposée de 150 m peut être modifiée afin d'obtenir un résultat moins évident à trouver. Toutefois il faut, en cohérence avec la situation choisie, rester attentif à ne pas chercher des précisions trop fortes.

        

    Pour différencier: pour des groupes rapides on peut proposer un prolongement.

    Le maître nageur doit permettre à 25 enfants de se baigner. Il est nécessaire que chacun ait au moins 4 m². Quelle est la  corde la plus courte qu'il puisse emporter ?

    (voir fichier tableur en fichier joint)
    Remarque : La valeur trouvée est une valeur approchée. Le problème de la précision sera discuté avec les élèves. En effet il faudra bien distinguer la valeur trouvée géométriquement de celle qui sera la mieux adpatée au problème réel.