Présentation du problème

Un stade olympique a la forme d'un rectangle avec deux demi-cercles aux extrémités. La longueur de la piste intérieure est imposée et mesure 400 m.

Quelles dimensions doit-on donner au stade pour que la surface rectangulaire soit maximale ?

Niveau

Ce problème d'optimisation peut être proposé à partir du collège. En quatrième ou troisième la réponse ne sera qu'expérimentale. En seconde la théorie disponible permet d'établir le résultat. En première et terminale il est peut être aussi proposé quelle que soit la série, ce sera par exemple l'occasion d'utiliser la dérivée. Nous allons ici nous placer au niveau seconde.

Eléments du scénario

J'utilise ce problème principalement au niveau seconde en devoir fait en temps libre. Au préalable trois problèmes du même type, menant à la recherche d'un extremum d'une fonction du second degré, (voir : exemple1, exemple2, exemple3) ont été traités en classe. La technique de résolution et ses éléments justificatifs ont été institutionnalisés.

Les productions des élèves ces deux dernières années ont été très hétérogènes. Ce problème laisse la possibilité à de la prise d'initiative et à des productions personnelles.

Une première disparité concerne le type de réponse :

• réponse au problème à travers un travail uniquement expérimental,

• recherche expérimentale suivie d'une démonstration du résultat en utilisant la théorie disponible,

• réponse utilisant la théorie disponible et vérification du résultat grâce au tracé numérique de la courbe ou en tabulant la fonction (calculatrice ou ordinateur).

Une deuxième disparité concerne le choix de la variable :

• le rayon ou le diamètre

• la longueur de la piste

Lors d'un bilan (indispensable) de correction on pourra faire remarquer aux élèves que ce choix de variable n'est pas anodin.