Nombres et calculs

Publié le 13 juin 2013 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  jeudi 13 juin 2013

Le calculateur prodigieux

Un problème qui permet de jouer avec les nombres et le calcul littéral...

  • Le calculateur prodigieux

              

    Enoncé :

                

    Choisir deux nombres inférieurs à 10. Etablir à partir de ces deux nombres une liste de 10 nombres de telle façon que le troisième nombre soit la somme des deux premiers, le quatrième nombre soit la somme du deuxième et du troisième et ainsi de suite jusqu'à obtenir 10 nombres.

          

    Le calculateur prodigieux est capable de déterminer la somme de ces dix nombres à la lecture de la liste en 1 ou 2 secondes ! Quel est son truc ? Est-il fiable ?

            

    Public : classe de cinquième/quatrième

        

    Objectifs :

            

    • Effectuer du calcul mental et/ou utiliser une calculatrice
    • Utiliser un tableur (savoir entrer une liste de nombres, savoir écrire une formule, savoir recopier une formule)
    • Donner du sens au calcul littéral, à la simple distributivité, et à la notion de réduction, de factorisation et de développement.
    • Adopter une démarche mathématique : expérimenter, tester, argumenter, conjecturer, démontrer...   

             

    Pour un scénario :

        

    • Dans un premier temps on propose donc aux élèves, individuellement ou par deux d'établir une liste de 10 nombres et de calculer leur somme. Cette activité permet à tous les élèves de s'impliquer et de commencer un travail. Celui-ci peut-être effectué mentalement, à la calculatrice.
           
    Exemple de liste :
          
         
       

    1

    4

    2

    6

    3

    10

    4

    16

    5

    26

    6

    42

    7

    68

    8

    110

    9

    178

    10

    288

    Somme

    748

             
         
    • Bilan collectif : On fait passer un élève au tableau pour écrire sa liste et lorsqu'il arrive au 10ème nombre, le professeur lui donne la somme immédiatement. A ce moment, tous les élèves sont motivés pour écrire leur liste et mettre en défaut le professeur. Quelques listes sont donc écrites au tableau avec leur somme. On demande donc aux élèves quel est le "truc" ? 
    • Une deuxième phase de recherche individuelle ou par groupe s'installe. Diverses stratégies sont mises en place par les élèves : regarder le lien entre deux nombres consécutifs, entre les deux nombres de départ et la somme, partir de la somme pour retrouver les nombres de départ...
    •  Après ce temps de recherche, étant donné que le "truc" est difficile à trouver, le professeur donne une indication : "la somme est obtenue en multipliant un nombre de la liste placé toujours à la même place dans toutes les listes par un même nombre entier".
    • Les élèves à ce moment peuvent choisir d'utiliser un tableur pour effectuer les calculs. Deux stratégies sont envisagées : "Multiplier les nombres obtenus par un même nombre et vérifier qu'on obtient la somme calculée" ou "Diviser la somme calculée par chacun des nombres de la liste et obtenir un nombre entier". 
    • Une phase collective permet d'échanger les différentes méthodes et la conjecture s'établit : "Il faut multiplier le 7ème nombre par 11 pour obtenir la somme des 10 nombres".
    • La dernière phase de démonstration va permettre de valider la conjecture. Si on appelle a et b les deux premiers nombres, on obtient le tableau suivant ! (sans le calcul de la somme) !
     
                

    1

    a

    2

    b

    3

    a+b

    4

    b+a+b

    5

    a+b+b+a+b

    6

    b+a+b+ a+b+b+a+b

    7

    a+b+b+a+b+ b+a+b+ a+b+b+a+b

    8

    b+a+b+ a+b+b+a+b+ a+b+b+a+b+ b+a+b+ a+b+b+a+b

    9

    a+b+b+a+b+ b+a+b+ a+b+b+a+b+ b+a+b+ a+b+b+a+b+ a+b+b+a+b+ b+a+b+ a+b+b+a+b

    10

    b+a+b+ a+b+b+a+b+ a+b+b+a+b+ b+a+b+ a+b+b+a+b+ a+b+b+a+b+ b+a+b+ a+b+b+a+b+ b+a+b+ a+b+b+a+b+ a+b+b+a+b+ b+a+b+ a+b+b+a+b

            

    D'où la nécessité évidente de réduire ces résultats pour faciliter les calculs. On obtient le tableau suivant : 

             

    1

    a

    2

    b

    3

    a + b

    4

    a + 2b

    5

    2a + 3b

    6

    3a + 5b

    7

    5a + 8b

    8

    8a + 13b

    9

    13a + 21b

    10

    21a + 34b

    Somme

    55a + 88b

            

    La simple distributivité va permettre de justifier que :

    11 (5a + 8b) = 55a + 88b.