Situation : le centre du cercle circonscrit à un triangle peut-il être sur un côté ?

Public : classe de quatrième.

Objectifs:

• expérimenter, conjecturer et démontrer.
• cercle et triangle rectangle.

Prérequis:

• théorèmes de la droite des milieux.
• médiatrice d'un segment.

ou bien

• propriétés du rectangle et de ses diagonales.

Un scénario possible:

• Diffuser par le biais d'un vidéo projecteur deux figures de triangles et de leurs cercles circonscrits.

• C'est l'occasion de faire rappeler une méthode de construction.

• Une étude comparée de ces images montre un cas où le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle et un autre où il se situe à l'extérieur.

• Question: peut-il se trouver sur un côté du triangle?

• Phase de recherche individuelle sur papier et aux instruments ou bien avec un logiciel de géométrie dynamique.

• Mise en commun et émission d'une conjecture qu'il est utile de faire formuler par écrit:

• Si un triangle est rectangle alors le centre du cercle circonscrit est sur l'un de ses côtés.

• Pour que le centre du cercle circonscrit à un triangle soit sur un de ses côtés alors il faut que le triangle soit rectangle.

Attention: les deux affirmations, réciproques l'une de l'autre, peuvent apparaître et il faut être bien au clair sur ce que l'on veut mettre en évidence. Les programmes de construction avec un logiciel de géométrie ne sont d'ailleurs pas les mêmes et il ne faut pas occulter ce problème avec les élèves.

Une conjecture supplémentaire apparaît: dans ce cas le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.

• Démonstration de ces conjectures.
  

Pour la première: on demande aux élèves de construire un triangle ABC, rectangle en A avec I milieu de l'hypoténuse, on trace la droite perpendiculaire à (AC) qui passe par I. Elle coupe (AC) en K. Ce peut être une dictée avec nécessité de schématiser en temps réel et donc de coder ou bien on peut diffuser l'énoncé par le biais d'un vidéo projecteur et demander le même travail de schématisation.

Le travail des élèves est d'expliquer pourquoi on peut affirmer alors que IA = IC et ainsi conclure.

L'une des pistes consiste à utiliser un des théorèmes de la droite des milieux puis la propriété de médiatrice d'un segment; l'autre s'appuie sur les propiétés du rectangle et de ses diagonales.

Pour la deuxième: il s'agit de prouver que dans ce cas le triangle est rectangle. On peut, pour varier le type de tâche, fournir un schéma codé de 3 points A, B et C équidistants d'un point I, aligné avec B et C. Charge aux élèves d'en tirer des conclusions. La première est que I est le milieu de [BC]. Le travail précédent devrait les inciter soit à mettre en évidence la médiatrice du segment [AB] qui passe par I et le milieu de [AB] et donc est parallèle à (AC) soit à travailler à nouveau à partir du rectangle.

 En liaison avec le socle commun de connaissances et de compétences.