Nombres et calculs

Publié le 24 juin 2013 Modifié le : 25 oct. 2017

Écrire à l'auteur

Le  lundi 24 juin 2013

Tout doit disparaître !

A l'occasion des soldes d'été, nous vous proposons de contrôler l'étonnant contenu mathématique d'une affiche publicitaire.

  • Tailleurs : -30% + -20% = -44% ; Jupes et pantalons : -30% + -14% = -40%

     

    En règle générale, les soldes d’été commenceront à partir du mercredi 26 juin 2013 à 8 heures du matin. Ils se termineront 5 semaines plus tard, le mardi 30 juillet 2013. A cette occasion, nous vous proposons un problème autour de la grandeur "prix".

     

     

     

    Présentation de l’activité


    Contrôler le contenu mathématique de cette affiche.

     

     

     

    Public


     L’activité proposée peut s’adresser à des classes de la 5e à la 3e.

     

     

     

    Objectifs


    - En 5e et 4e : appliquer un taux de pourcentage ; calculer un pourcentage ; créer une feuille de calcul

     

    - En 3e : réinvestir les compétences relatives aux pourcentanges, utiliser le tableur, découvrir qu'augmenter de x % c'est multiplier par ( 1 + x/100 ).

     

     

     

    Pré-requis


     Mathématiques

    - appliquer un taux de pourcentage (6e).

     

    T.I.C.E.

    - entrer des formules dans un tableur.

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

    Présentation

     

    Présenter l'affiche aux élèves. S'interroger collectivement sur le sens du contenu mathématique pour formuler les problèmes :

     

    • réduire successivement un prix de 30 % puis de 20 % revient t-il vraiment à le réduire de 44 % ?

    • réduire successivement un prix de 30 % puis de 14 % revient t-il vraiment à le réduire de 40 % ?

     

     

    Appropriation du problème

     

    Mettre les élèves en situation de recherche sur la première situation en incitant ceux qui ne le feraient pas, à choisir un prix et à appliquer les différentes réductions. Durant cette phase, on reinvestira que calculer x % d'un nombre c'est :

     

    - le multiplier par x/100

    - le multiplier par x puis le diviser par 100

     

    On veillera à ce que chacun ne se contente pas des montants de réduction mais pense bien à retrancher ces réductions aux prix. On surveillera également que le montant de la 2e réduction soit bien calculé sur le prix intermédiaire et non pas sur le prix initial.

     

    Lorsque qu'un élève est parvenu à contrôler la première affirmation sur un premier prix on lui demandera s'il serait arrivé à la même conclusion avec un autre prix.

     

    Selon le niveau, on pourra mener un bref temps de synthèse au cours duquel on fera le point sur les différentes techniques pour appliquer un taux de pourcentage.

     

     

    Utilisation du tableur

     

    Après avoir expérimenté sur quelques prix, on cherchera à savoir si l'affirmation est vérifiée pour tous les prix, pour n'importe quel prix. On attend de l'élève qu'il propose alors l'utilisation du tableur. Selon le niveau, celui ci servira de médiateur vers le calcul littéral.

     

     

    Exemple de feuille de calculs réalisée par des élèves de 5e :

     

     Affiche1a

     

     

    On pourra amener ensuite les élèves à réduire le nombre de colonnes utilisées et à condenser ainsi leurs programmes de calcul :

     

    Affiche1b

     

     

    Selon les niveaux, on pourra ensuite demander aux élèves de réduire les programmes de calculs utilisés, par factorisation ou en les incitant à réfléchir sur le pourcentage du prix restant après réduction de 30 %, 20 % ou 44 %. Leurs résultats peuvent être controlés au tableur :

     

    Affiche1c

     

     

    Ou encore :

     

    Affiche1d

     

     

    En réduisant encore le nombre de colonnes :

     

    Affiche1e

     

     

    Un moment de synthèse permettra de recenser toutes les techniques pour réduire un nombre de 30 % (de 20 % ou de 44 %)

     

    tableau

     

    Le tableur et le calcul littéral permettent de contrôler l'équivalence de ces programmes.

     

     

     

    Solution experte : calcul littéral

     

    Si le tableur a permis aux élèves de se convaincre que réduire un nombre de 30 % puis de 20 % revennait à le réduire de 44 %, l'utilisation du calcul littéral permet de le démontrer.

     

    En s'appuyant sur les éléments de la synthèse ou sur la dernière feuille de calculs on peut obtenir que le programme de calcul réduisant un nombre x de 30 % puis de 20 % c'est x × 0,7 × 0,8.

     

    Programme qui se réduit en x × 0,56 et qui est bien le programme de calcul réduisant ce même nombre de 44 %.

     

     

     

    Prolongements possibles


     

    Le deuxième problème (réduire successivement un prix de 30 % puis de 14 % revient t-il à le réduire de 40 % ?) peut être abordé de la même façon que le premier, par exemple par les élèves les plus rapides.

     

    Les petites différences observées par le cacul ou le tableur amènent à s'interroger sur le pourcentage réel de remise.

     

    Un tâtonnement sur ce pourcentage, au tableur, devrait permettre à certains élèves de 5e ou de 4e de trouver que celui ci est égal à 39,6 %.

     

    Pour des élèves de 3e, la réduction du programme de calcul : x × 0,7 × 0,86 en x × 0,602 devrait permettre d'arriver plus rapidement au résultat.

     

     

     

    Documents utiles


     

    L'affiche (à projeter)