Nombres et calculs

Publié le 4 juil. 2013 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  jeudi 4 juillet 2013

Le permis de conduire

Etudier les variations d'un capital placé sur un livret à taux fixe.

  • Livret A

     



    Présentation de l’activité
     


     

     
    A la naissance de Victor, ses grands parents ont placé 1 000 € sur un livret de caisse d’épargne afin qu’il puisse, à sa majorité, se payer son permis de conduire. On se demande si une telle somme sera suffisante.
       
     
     

    Public


      

    L’activité peut être proposée en classe de 5e, 4e ou 3e mais peut être prolongée en 2de par un travail d'algorithmique ou en 1re (toutes sections) pour amorcer l'étude des suites géométriques.

     

      
     

    Objectifs


     

    - utiliser un taux de pourcentage (5e, 4e, 3e).

     

    - réinvestir qu'augmenter de x % c'est multiplier par 1 + x/100 (3e).

     

    - découvrir ou réinvestir les puissances (4e, 3e).

     

    - créer une feuille de calcul (5e, 4e, 3e).

     

    - découvrir des fonctions non affines et non linéaires (3e).

       

     

     

    Pré-requis


     

    Mathématiques

     

    - utiliser un taux de pourcentage

     

    - sens de la notation an (3e)

      

    T.I.C.E.

     

    - Utilisation du tableur

     

     

       

    Déroulement de l’activité


      

    Présentation

     

    Après avoir présenté la situation, on pourra attendre que ce soit les élèves qui demandent les informations nécessaires à la résolution du problème :

     

    - le coût du permis de conduire (env. 1 600 euros)

     

    - le taux d'intérêt du livret (le choix du taux est une variable sur lequel l'enseignant peut jouer pour différencier le travail selon les classes ; pour la suite, celui-ci sera de 1,75 %)

       

    Appropriation du problème

     

    Dans un premier temps, les élèves se lanceront dans des calculs "à la main" et "à la calculatrice" qui rapidement vont s'avérer fastidiueux (surtout s'ils utilisent le programme de calcul x + x*1,75/100).

     

    On veillera à ce que les intérêts de l'année n soient bien calculés sur le capital de l'année n-1 et pas uniquement sur l'année 0.

     

    Ce dernier point pourrait bien en inciter plusieurs à utiliser le tableur pour accélérer les calculs.

       

    Utilisation du tableur

     

    Exemples de productions d'élèves :

     

    Livret Ac

       

    Selon le niveau, on pourra ensuite demander à ce que le nombre de colonnes utilisées soit diminué et à ce que soit utilisé un programme de calcul plus réduit que x + x × 1,75/100.

    On réinvestira alors qu'augmenter un nombre de 1,75 % c'est calculer 101,75 % de ce nombre donc multiplier ce nombre par 101,75/100 c'est à dire par 1,0175.

     

    Livret Ad

     

    Résolution experte

     

    On pourra, pour finir, faire écrire aux élèves l'ensemble des opérations réalisées par le tableur pour arriver à un capital de 1366,53 euros.

     

    En s'appuyant sur la dernière feuille de calcul, on pourra obtenir :

     

    1000 x 1,0175 x 1,0175 x 1,0175 x 1,0175 x 1,0175 x 1,0175 x 1,0175 x 1,0175 x 1,0175 x 1,0175 x 1,0175 x 1,0175 x 1,0175 x 1,0175 x 1,0175 x 1,0175 x 1,0175 x 1,0175

     

    qui sera réduit en 1000 x 1,017518.

     

    Prolongement

     

    • 18 ans ne suffisant pas, on se demandera combien d'années sont nécessaires pour pouvoir se payer le permis.

     

    La question peut être traitée au tableur ou en tâtonnant sur l'inéquation : 1000 x 1,0175n ≥ 1600.

     

    On pourra également chercher à savoir quel est le capital initial qui aurait permis à Victor de se payer le permis à 18 ans.

     

    Là encore une réponse peut être trouvée au tableur ou en résolvant l'inéquation c x 1,017518  1600.

       

     

     

    D'autres prolongements possibles


     

    - représenter graphiquement l'évolution du capital en fonction des années ; se demander s'il s'agit d'une fonction affine.

     

    - se demander combien d'années sont nécessaires pour doubler (décupler) le capital initial.

     

    - proposer le même problème mais en tenant compte des variations du taux du livret au fil des années.

     

    - comparer le capital au bout de 18 ans avec un taux d'intérêt à 1,75 % et avec un taux d'intérêt à 1,25 %.

     

    - fabriquer un algorithme donnant le capital en fonction du capital initial, de la durée du placement et du taux d'intérêt.

     

    Entrées :

    capital, durée, taux

     

    Traitement :

    Pour n allant de 0 à d-1

    capital = capital * ( 1 + taux/100 )

     

    Sortie :

    Afficher c

     

    - fabriquer un algorithme donnant le nombre d'années nécessaires pour atteindre un capital donné en fonction du capital initial et du taux d'intérêt.

     

    Entrée :

    capital, capital à atteindre, taux

     

    Traitement :

    n = 0

    Tant que capital < capital à atteindre

    capital = capital * ( 1 + taux/100 )

    n = n + 1

     

    Sortie :

    Afficher n

       

     

     

    Documents utiles



    - le coût du permis de conduire