Nombres et calculs

Publié le 10 nov. 2013 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  dimanche 10 novembre 2013

Calculs dans un repère

Retrouver les calculs effectués par Géogébra pour afficher l'aire ou le périmètre d'une figure où chaque point est défini à partir de ses coordonnées.

  • Un triangle rectangle, un rectangle et un parallélogramme.

     

    Présentation de l’activité


     

     

    Situation 1

     

    Dans un repère, placer les points :

    A ( 1 ; 2 )

    B ( 1 ; 8 )

    C ( 6 ; 2 )

     

    Tracer le triangle ABC et  afficher son aire.

    Situation 2

     

    Dans un repère, placer les points :

    D ( 5 ; -3 )

    E ( -2 ; -3 )

    F ( -2 ; 5 )

    G ( 5 ; 5 )

     

    Tracer le quadrilatère DEFG et afficher son périmètre.

    Situation 3

     

    Dans un repère, placer les points :

    H ( -3,7 ; -2,1 )

    I ( -1,7 ; 1,9 )

    J ( 2,7 ; 1,9 )

    K ( 0,7 ; -2,1 )

     

    Tracer le quadrilatère HIJK et afficher son aire.

     
     
     

    On demandera :

     

    - l'exécution des programmes de construction sur Géogébra,

     

    - la construction des figures sur le cahier,

     

    - de retrouver les calculs effectués par Géogébra pour afficher les aires / le périmètre, à partir des données entrées dans le logiciel (les abscisses et les ordonnées des points).

     
     
     

    Public


     

    L’activité proposée s'adresse à une classe de 5e.

     

     

     

    Objectifs


     

    • Introduire la soustraction des nombres négatifs.

     

    • Travailler le repérage.

     

    • Déterminer la distance de deux points de même ordonnée ou de même abscisse.

     

    • Calculer des aires et des périmètres.

     

    • Utiliser un logiciel de géométrie dynamique (ou un tableur).

     

     

     

    Pré-requis


     

    Mathématiques
     
     
    •  Repérage
     
    •  Calculs d'aires (triangle rectangle, parallélogramme)
     
    •  Addition des nombres relatifs (cf. enseigner les nombres relatifs en 5e)
     
     
    T.I.C.E.
     
    • Construire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique.
     
     

    Déroulement de l’activité


     

     

    1re partie : constructions et présentation du problème

     

    On pourra commencer par faire construire les deux premières figures sur Géogébra et sur le papier avant de proposer la troisième.

     

    Les deux premières constructions faites, on mènera un temps de mise en commun, à l'aide du video projecteur.

     

    C'est alors qu'on posera le problème des calculs effectués par Géogébra pour afficher l'aire du triangle rectangle et le périmètre du rectangle. 

     

     

    2e partie : temps de recherche dans une situation routinière

     

     

    On laissera un temps de recherche aux élèves. On observera en général des calculs du type :

     

    • Aire du triangle rectangle : 5 x 6 : 2 = 15

     

    • Périmètre du rectangle : 8 x 2 + 7 x 2 = 30

     

     

    Pour amener les élèves à détailler les calculs des différentes longueurs mises en jeu (à partir des coordonnées des points) on pourra faire remarquer que celles ci n'ont pas été entrées dans Géogébra et poser alors les questions suivantes :

     

    P : " Comment as-tu déterminé AB et AC ?"

     

    E :  "J'ai compté les carreaux à l'aide de la grille."

     

    P : " Et si maintenant je retire la grille de Géogébra (le faire vraiment), es-tu capable de retrouver AB et AC ?"

     

    E : "Oui, en regardant la différence (l'écart) entre 8 et 2."

     

    P : "Quelle opération permet à Géogébra de calculer cette différence ?"

     

    E : " 8 - 2 = 6"

     

     

    3e partie : temps de recherche dans une situation problématique

     

    Dans la deuxième figure, les élèves vont être amenés à déterminer ED et EF.

     

    On observera chez des élèves les calculs : ED = 5 + 2 = 7 et EF = 5 + 3 = 8.

     

    On fera remarquer que c'est ni 2 ni 3 qui ont été entrés dans Géogébra mais (-2) (abscisse de E) et (-3) (ordonnée de E).

     

    Ils seront alors amenés à rechercher la différence entre 5 et (-2) par 5 - (-2) et la différence entre 5 et (-3) par 5 - (-3). La classe se retrouve alors face à un nouveau type de tâche : "calculer la différence entre un nombre positif et un nombre négatif".

     

    La calculatrice pourra rapidement les rassurer que de tels calculs, nouveaux à ce moment de l'étude, ont bien un sens et donnent les résultats attendus.

     

    Se demander comment la calculatrice s'y prend pour effecuter ces soustractions permettra de faire émerger une technique et faisant apparaitre que :

     

    5 - (-2) = 5 + 2 = 7 (retrancher (-2) revient à ajouter 2)

     

    5 - (-3) = 5 + 3 = 8 (retrancher (-3) revient à ajouter 3)

     

     

    4e partie : mise en commun et justification de la technique

     

    Lors d'une mise en commun de ses résultats, on pourra légitimer l'équivalence entre ces programmes de calculs en prolongeant, au tableur, la soustraction des positifs dans les négatifs.

     

    Négatifs

     

    Lorsque B est positif, A - B augmente de 1 chaque fois que B diminue de 1. On prolonge ce résultat lorsque B est négatif pour effectuer A - B.

     

     

    5e partie : réinvestissement de la technique et bilan final

     

    On pourra alors proposer la 3e figure (prévoir du papier millimétré) pour mettre la technique à l'épreuve et travailler avec des décimaux.

     

    Dans un dernier bilan on pourra demander à la classe d'écrire une technique permettant de calculer la distance entre deux points placés dans un repère.

     

    On pourra alors institutionnaliser que :


    - la distance entre deux points A et B de même ordonnée c'est la différence entre la plus grande des absisses et la plus petite.

    - la distance entre deux points A et B de même abscisse c'est la différence entre la plus grande des ordonnées et la plus petite.

    - on ne sait pas calculer la distance entre deux points qui n'ont ni la même abscisse ni la même ordonnée.

     

    En revenant sur les calculs de distances précedemment écrits on peut opérer un bref retour sur la comparaison des relatifs.

     

    ED = 5 - (-2) car 5 > (-2)

    EF = 5 - (-3) car 5 > (-3)

    HK = 0,7 - (-3,7) car 0,7 > (-3,7)

     

     

     

    Prolongements


     

     

    - proposer un 4e spécimen dans lequel un calcul calcul de distance met en jeu deux nombres négatifs.

     

    - demander à la classe de réaliser sur le tableur un fichier automatisant le calcul de la distance entre deux points de même abscisse ou de même ordonnée. Un tel travail permettra une première rencontre avec les fonctions min() et max() (qu'on retrouvera en statistique ou encore en 3e dans la programmation des algorithmes calculant le PGCD de deux nombres).

     

    distance

     

     
     

    Documents utiles


     

    Enoncé pour les élèves