Nombres et calculs

Publié le 3 juil. 2013 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  mercredi 3 juillet 2013

Les agences de location

Un problème d'optimisation autour de la grandeur "prix".

  • Les tarifs des quatre agences

     

    Présentation de l’activité


     

    Victor et Louise souhaitent louer une voiture. Quelle agence leur conseillerez-vous ?

     
     
      

    Public


     

    L’activité proposée s’adresse à une classe de 3e.

     
     
      

    Objectifs


     

    • Etudier les variations d'une grandeur en fonction d'une autre

     

    • Introduire la notion de fonction et d'inéquation.

     

    • Apporter une réponse condtionnelle à un problème.

     

     

     

    Pré-requis


     

    Mathématiques

    • Opérer avec des nombres écrits de manière décimale.

    • Représenter graphiquement les variations d'une grandeur.

    • Résoudre algébriquement une équation du premier dégré.

     

    T.I.C.E.

    • Insérer une formule dans une feuille de calculs.

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

    Prise en main du problème

     

    - Présenter le problème

    - Le choix de l'agence dépendra du nombre de kilomètres parcourus.

    - Encourager les élèves à choisir une distance et à apporter une première réponse. Rebondir ensuite en leur demandant si le choix de l'agence aurait été le même si on avait décider de parcourir une autre distance. Recommencer l'expérimentation quelques fois, si necessaire en proposant une distance qui fera différer le choix de l'agence.

    - On souhaite être capable de dire l'agence la plus économique pour n'importe quelle distance à parcourir.

     

     

    Résolution du problème

     

    - Afin d'accélérer les recherches, on mettra un tableur à disposition.

     

    Agences

     

     

    Moins de 90 km : Loc'Auto

    Entre 90 km et 175 km : Les voitures de Provence

    Entre 175 km et 250 km : Aix location

    Plus de 250 km : Easy'cars

     

     

    On se demandera ensuite comment résumer, sur le cahier, l'ensemble des résultats du tableur afin de justifier notre conclusion. Une possibiité est de les représenter sous la forme de graphiques.

     

    Agences2

     

    On fera remarquer qu'il est possible de retrouver les conclusions à l'aide de la représentation graphique.

     

    Ce sera également l'occasion de rappeller la caractérisation de la proportionnalité par une série de points alignés avec l'origine (première agence).

     

    Un premier temps de mise en commun permettra de dégager les programmes de calcul utilisés dans le tableur et d'écrire les quatre fonctions mises en jeu :

     

    x → 0,9x

    x → 45 + 0,4x

    x → 80 + 0,2x

    x → 130

     

    Selon les connaissances de la classe, en s'appuyant sur leurs représentations graphiques et sur leurs écritures littérales, on fera remarquer (ou on définira) le caractère linéaire (situation de proportionnalité), affine ou constant des fonctions représentées.

     

    On pourra montrer qu'à partir de Géogébra il était possible d'obtenir directement les représentations graphiques des quatre fonctions, à l'aide de la barre de saisie et des écritures littérales.

     

    Agences3

     

     

     Résolution experte

     

    Ce problème peut être l'occasion de rencontrer pour la première fois des inéquations.

    On montrera, par exemple, qu'il était possible de trouver, sans calcul numérique, sans tableur, sans Géogébra, que Loc'Auto est plus économique que les Voitures de Provence pour des trajets de 90 km ou moins :

     

    0,9 x ≤ 45 + 0,4 x

    0,9 x - 0,4 x ≤ 45 + 0,4 x - 0,4 x

    0,5 x ≤ 45

    x ≤ 45 : 0,5

    x ≤ 90

     

    Les élèves devraient pouvoir ensuite écrire et résoudre seuls les deux dernières inéquations.

     

     

     

    Documents utiles


     

    Les tarifs des agences