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Publié le 19 juin 2015 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  vendredi 19 juin 2015

Le grand bain

Une situation d'optimisation : de l'expérimentation à la démonstration

  • Grand bain

     

     

     

    La situation de problème


     

    Un maître-nageur dispose d'une corde pour délimiter une surface de baignade de forme rectangulaire adossée à une plage rectiligne. Il souhaite obtenir une aire maximale.

     

    On se demande comment disposer la corde.

     

     

     

     

    Pré requis


     

    Les élèves ont déjà pu rencontrer des situations du type  f(x) > k (en particulier dans la cas où f est une fonction du second degré). Des solutions à ces problèmes ont d'abord été obtenues expérimentalement, puis une technique a été mise au point afin d'établir ces mêmes résultats à l'aide de la théorie disponible.

     

    Pour ce nouveau type de problème, on envisagera un scénario similaire.

     

    Cette situation pourra être le deuxième problème d'optimisation de ce type proposé en classe de seconde. Pour un premier, (par exemple le problème du marchand de glaces) seules des réponses expérimentales auront alors été obtenues.

     

     

     

     

    Objectif


     
     

    La lecture du document en pièce jointe "Enseigner les fonctions en seconde" est très éclairante sur l'ambition didactique du scénario.

     

    Ici, on entreprendra de nouveau un travail expérimental en explorant le problème graphiquement et numériquement ; un objectif étant de rendre les élèves capables d'étudier par eux même un problème d'optimisation (se modélisant ici par la recherche d'un extremum d'une fonction du second degré). Ensuite, il faudra mettre au point une technique permettant d'établir ces résultats en utilisant la théorie disponible, c'est à dire de démontrer les résultats obtenus expérimentalement.

     

     

     

     

    Extraits des instructions officielles permettant de situer l'activité d'étude et de recherche dans le programme


     

    prog-extrait1

     

     

    prog-extrait2

     

     

     

     

     

     

    Ébauche d'un scénario

     


     

    A] Phase expérimentale

     

     

    1 - Le professeur propose de s'intéresser dans un premier temps au cas où L = 70.

     

     

    • La première partie de la recherche se fait à l'aide du papier et du crayon. Le professeur oriente les élèves n'entrant pas dans le problème vers un test de valeurs. Cela participe à la fois à la dévolution du problème mais aussi à la préparation de l'algébrisation de la situation. On pourra mener ensuite un bilan intermédiaire :

     

     

    Capture00

     

    La forme est importante. Le professeur en profitera pour faire expliciter aux élèves leurs calculs.

     

     

    • Il va falloir faire de nombreuses fois ce calcul. Il faut donc l'automatiser.

     

    Question : "Comment faire pour automatiser ces calculs ?"

     

    Les élèves proposent d'utiliser la calculatrice ou un tableur.

    La nécessité de modéliser la situation se présente donc. Elle est facilitée par l'écriture choisie lors du bilan intermédiaire précédent.

    Le problème revient donc à trouver le maximum de la fonction f définie sur [ 0 ; 35 ] par f(x) = x ( 70 - 2x ).

     

    • Une expérimentation à l'aide d'une machine (calculatrice ou ordinateur) permet de se faire une idée du résultat.

     

    experimentation-l70

     

    • On rédige une conclusion expérimentale.

     

     

     

    2 - On étudie la solution pour L = 55.

     

     

    Un même type de travail donne par exemple les traces suivantes avec une calculatrice :

     

    pb01-calc1

     


    Certains élèves arrêtent à ce niveau de précision leur exploration et certains la poursuivent. Lors d'une mise en commun intermédiaire, les questions cruciales :

     

    "Pourquoi n'avez pas-vous pas poursuivi davantage votre exploration graphique ?"

     

    "Comment aurait-on pu savoir qu'on aurait pu arrêter l'exploration à ce niveau ?"

     

    mènent les élèves à faire une référence à une propriété de symétrie. Le professeur fait remarquer qu'il faudra l'observer sur d'autres exemples et si cela se confirme la démontrer.

     

     

     

    3 - Cas général : pour toute valeur de L.` `

     

     

    Cette phase est proposée généralement en travail à la maison en demandant aux élèves d'expérimenter sur d'autres cas pour essayer d'en déduire une règle générale.

     

    Quels que soient les retours des élèves, il va falloir établir les résultats en utilisant la théorie disponible.

     

     

     

    B] Démonstration : établissons les résultats à l'aide de la théorie disponible

     

     

    Pour cela on commence par se créer une base expérimentale sur les fonctions du second degré. Nous allons donc choisir un certain nombre de ces fonctions pour voir s’il existe des points communs entre les fonctions de cette famille.

     

     


    1 - Consigne

     

     

    À partir des fonctions du second degré ci-dessous, expérimenter (numériquement et graphiquement) pour faire des conjectures sur :

     

    - d'éventuels extrema (minimum ou maximum)

     

    - les variations de la fonction

     

    - sur la forme de la représentation graphique.

     

    grandbain

     

     


    2 - Premier bilan de l’étude expérimentale

     

     

    Les représentations graphiques des fonctions du second degré ont toutes "la même forme" que la représentation graphique de la fonction carré.


    Le signe de a indique si la parabole est orientée vers le haut ou vers le bas.


    On se pose la question de la forme : utilisation de Géogébra qui permet de déplacer la courbe (voir vidéo[1.7Mo])

     

     

     


    3 - Deuxième bilan de l’étude expérimentale

     

     

    On aura remarqué le lien entre l'expression algébrique de la "forme canonique" et les coordonnées du sommet de la parabole.


    L'objectif est maintenant d'établir ce résultat.

     

    Pour cela, on revient sur les fonctions précédentes qui ne sont pas en écriture canonique. On conjecture sa forme canonique à l'aide des coordonnées de l'extremum ( α , β ) (qui ont été obtenues expérimentalement). On développe et on réduit cette expression afin de vérifier qu'elle est égale à l'expression algébrique de la fonction.

     

    Cette forme canonique permet de démontrer les variations de cette fonction.

     

     

     4 - Conclusion

     

     

    Les instructions officielles demandent que les élèves soient capables d'étudier un problème d'optimisation.

     

    Ici la situation est modélisée par une fonction du second degré définie par f(x) = ax² + bx + c, ce qui fait partie des problèmes d'optimisation les plus simples.

     

    Or démontrer les variations d'une fonction du second degré nécessite l'obtention de la forme canonique. Pour l'obtenir toute méthode algébrique est hors programme.

     

    Une solution consiste donc à déterminer expérimentalement les coordonnées ( α , β ) du sommet de la parabole pour en déduire une forme canonique a ( x - α )² + β.

     

    Développer cette expression permet de démontrer l'égalité. Le reste de la technique reste classique ; on le retrouve dans beaucoup de livres.