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OGD, fonctions

Publié le 4 juil. 2013 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  jeudi 4 juillet 2013

Les grands cols

A l'occasion de l'arrivée du Tour de France dans les Pyrénées, nous vous proposons une série de problèmes autour de la classification des cols.

  • Louison Bobet dans le Ventoux

     

     

    Les organisateurs du Tour de France classent chaque année les différentes ascensions du parcours selon leurs difficultés. Les plus difficiles sont classées "hors catégorie", les autres en 1re, 2e, 3e ou 4e catégorie pour les plus faciles.

     

     


     

    Extraits de discussions sur des forums :

     

    A chaque Tour de France, la même question revient : comment les organisateurs déterminent-ils la difficulté d'un col ?

     

    Invariablement, le même type de réponse : elle dépend de sa pente, de sa longueur, de sa distance au point de départ de l'étape.

     

    On raconte que lors des premières éditions du Tour de France la classification des ascensions s'est faite ainsi : en conduisant une voiture à transmission manuelle, le rapport de vitesse le plus élevé avec lequel on réussissait à atteindre le sommet correspondait à sa catégorie. Et si la voiture ne parvenait jamais au sommet, alors elle était classée "hors catégorie".

     

     

    velo 9

     

     

     

     

    Public


     

    Ces problèmes se destinent à des classes de 4e ou de 3e mais peuvent être adaptés à des classes de  5e ou de 6e en jouant sur certaines variables. On peut également proposer certains d'entre eux à des classes de 2de en axant leurs résolutions vers l'algorithmique.

     

     

     

     

    Pré-requis


     

    Mathématiques

    • Exécuter un programme de calculs

    • Propriété de Pythagore (facultatif)

    • Trigonométrie (facultatif)

     

    TICE (tableur)

    • Entrer des formules

    • Trier des données

     

     

    Il sera sans doute nécessaire de définir avec la classe la notion de "pente" : le rapport entre la distance verticale (le dénivelé) et la distance horizontale ; la tangente de l'angle formé par la route et l'horizontale.

     

     

    pente

     

     

     

     

    Problème 1


     

    Un site internet propose un programme de calcul permettant de déterminer approximativement la catégorie d'un col. En effet, la véritable méthode ne semble se trouver ni sur Internet ni dans les revues de cyclisme.

     

     

    Méthode dite de la "cotation au carré de la pente moyenne" :

     

    Indice de difficulté = pente² × distance (km)      (arrondir le résultat à l'unité)

     

     

    Indice entre 35 et 79 Indice entre 80 et 179 Indice entre 180 et 299 Indice entre 300 et 599 Indice supérieur à 600
     4e catégorie 3e catégorie 2e catégorie 1re catégorie Hors catégorie

     

     

    Voici la liste des 64 ascensions du Tour de France 2013.

     

    Le problème est de contrôler la validité de la méthode de "la cotation au carré".

     

     

    Cols 2013

     

     

    NB : dans cette feuille de calculs, la "distance" (colonne D) est la "distance sur route" mais selon le niveau, elle pourra être donnée comme la "distance horizontale" (les erreurs commises n'excèdent alors pas 0,4 %).

     

     

    Exemple de feuille de calculs pouvant être réalisée par des élèves (attention aux unités !) :

     

    ColsC2

     

     

    Dans un premier temps, les élèves attribuent les catégories des ascensions "à la main". On pourra leur montrer qu'un tri de l'ensemble de la feuille de calculs selon les valeurs de la colonne L permet d'accélérer le travail.

     

    Dans un second temps et selon le niveau de la classe, on pourra montrer comment automatiser l'attribution de la catégorie et la comparaison à la catégorie initiale :

     

    ColsC1

     

    Télécharger le fichier

     

     

    Enfin, le programme de calcul 100*SOMME(N2:N65)/64 permet de déterminer le pourcentage de corrélation entre les catégories fixées par les organisateurs et celles données par la méthode de la "cotation au carré". On obtient un résulat de 91 %.

     

     

     

     

    Problème 2


     

     

    Un autre site a développé un 2e indice :

     

    Indice de difficulté = 400H/D + H²/D + D/1000 + (T-1000)/100      (arrondir le résultat à l'unité)


    ( H = dénivelé (m) ; D = distance (m) ; T = altitude au sommet (m) )

     

    Le problème est de définir, avec ce nouvel indice, un barême, offrant la meilleure corrélation avec les cotations proposées par les organisateurs du Tour de France.

     

     

    Indice entre ? et ? Indice entre ? et ? Indice entre ? et ? Indice entre ? et ? Indice supérieur à ?
     4e catégorie 3e catégorie 2e catégorie 1re catégorie Hors catégorie

     

     

    Au final, il est possible de proposer un barême offrant une corrélation de 94 % avec les catégories définies par les organisateurs.

     

     

     

     

    Problème 3


     

     

    Scanuppia

     

     

    Longueur Altitude de départ Altitude d'arrivée Pente moyenne Pente maximum
    7,8 km 198 m 1515 m 17 % 45 %

     

     

    1) A l'aide des indices rencontrés dans les problèmes précédents, on pourra d'abord contrôler que l'appellation de col "le plus dur d'Europe" est justifiée.

     

    2) On pourra ensuite chercher à représenter une pente de 45 %. Parmi ces quatre représentations, laquelle correspond selon vous à une telle pente ?

     

    Scanuppia2

     

    On pourra ainsi faire constater qu'une pente de 45 % ne forme pas un angle de 45° avec l'horizontale mais seulement de 24°.

     

     

     

     

    Prologement possible


     

    • Vérifier que si, pour une ascension réelle, on confond "distance sur route" et "distance horizontale", l'erreur commise dans le calcul de la pente est très faible.

     

    • En utilisant les techniques précédentes, rechercher le col le plus difficile de France (notion finalement très relative car, entre autre, le point de départ de l'ascension peut être fixé arbitrairement... et pourquoi pas au niveau de la mer).

     

    • Fabriquer un algorithme donnant la catégorie d'un col :

     

    Exemple permettant de travailler les tests successifs et éventuellement les fonctions à plusieurs variables :

     

    Entrées :

    alt_depart (en m) , alt_sommet (en m), dist_route (en km)

     

    Traitement :

    deniv = ( alt_sommet - alt_depart ) / 1000

    dist_hor = sqrt( dist_route² - deniv² )

    pente = deniv / dist_hor

    indice = floor( pente² × distance sur route )

    Si indice  ≤ 34 alors : cat = non classé

    Si 35 ≤ indice ≤ 79 alors : cat = 4

    Si 80 ≤ indice ≤ 179 alors : cat = 3

    Si 180 ≤ indice ≤ 299 alors : cat = 2

    Si 300 ≤ indice ≤ 599 alors : cat = 1

    Si indice ≥ 600 alors : cat = HC

     

    Sortie :

    Afficher : cat

     

     

     

     

    Documents utiles


     

    Les ascensions du Tour de France 2013

     

    Résolution du "problème 1" au tableur