Espace et géométrie

Publié le 9 juil. 2014 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  mercredi 9 juillet 2014

Les triangles de Curry

Un étrange phénomène à démystifier.

  • Triangles de Curry

     

     

     

    Présentation de l’activité


     

    En déplaçant les pièces d'un puzzle, on reconstruit la même figure... mais un carré supplémentaire est apparu.

     

     

    Curry1

     

     

    On souhaite comprendre ce phénomène.

     

     

     

    Public


     

    On pourra proposer ce problème à une classe de 4e ou de 3e

     

     

     

    Objectifs


     

    • Réinvestir des compétences de géométrie dans une situation nouvelle.

     

     

     

    Pré-requis


     

    Mathématiques

     

    Calculs d'aire

    Propriété de Thalès ou trigonométrie

     

    T.I.C.E.

     

    • Construction de figures simples à l'aide de Géogébra.

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

    Présentation

     

    On dévoile aux élèves la situation en montrant simultanément les deux figures. On laisse quelques secondes pour qu'ils puissent identifier par eux même le problème.

    On leur demande d'expliquer ce phénomène.

     

     

    Temps de recherche

     

    Après quelques minutes d'exploration, on pourra questionner : "Quelle est la grandeur qui est mise en jeu dans l'apparition inattendue de ce carré supplémentaire ?"

     

    On amène ainsi les élèves à s'intéresser aux aires de ces deux figures. On relance le travail : "Est-ce qu'on pourrait déterminer les aires de ces figures ?"

     

    Selon la méthode employée pour déterminer ces aires, les résultats diffèrent :

     

        Première figure Seconde figure
      Somme des aires de chaque pièce 32 ua 33 ua
      Aire du triangle rectangle 32,5 ua 32,5 ua

     

     

    Bilan intermédiaire

     

    Après être revenu sur les différents calculs d'aires, on questionne :

     

    - Une figure peut-elle avoir deux aires différentes ?

    - Deux figures identiques peuvent-elles avoir deux aires différentes ?

    - Quelles peuvent être les seules explications possibles à ces incohérences ?

     

    De la première question, on arrive au fait qu'une des deux techniques de calcul doit être incorrecte et que donc les figures ne peuvent pas être des triangles rectangles. De la seconde, que les figures doivent être différentes.

     

    On relance l'étude :

     

    Comment se convaincre de ces conclusions ? Comment voir que ces figures ne sont pas des triangles rectangles ? Comment mieux voir les différences entre ces deux figures ?

     

     

     Temps de recherche

     

    Une construction des deux figures, pièce par pièce, à l'aide de Géogébra permet de se convaincre de ces résultats.

     

     

    Figure 1 Figure 2

    CurryA

     Zoom

    CurryB

     Zoom

     

     

    Bilan intermédiaire

     

    Après avoir fait le point sur les deux figures et constaté leurs différences, on apporte une réponse au problème initial : les deux figures étant différentes, il n'est pas anormal qu'elles aient des aires différentes.

     

    On relance le travail : "Aurait-on pu savoir, sans Géogébra que les points A, B, C ne sont pas alignés ? De quelles techniques dispose t-on pour montrer que trois points ne sont pas alignés ?"

     

    Ce type de tâche n'est sans doute pas routinier dans la classe. Selon le niveau, les connaissances des élèves et le thème en cours, on pourra orienter les élèves vers :

     

    • des calculs d'angles : "Si les angles ABC ne sont pas plats, peut-on calculer leurs mesures (ou retrouver les résultats affichés par Géogébra) ?"

    On réinvestit ainsi le théorème de Pythagore (4e) et le cosinus (4e) ou la tangente (3e)

     

    • des agrandissements

    On réinvestit ainsi la contraposée du théorème de Thalès dans une configuration peu commune : c'est ici l'alignement des points qui fait défaut et non le parallélisme des droites.

     

    • l'inégalité triangulaire

    On cherche à montrer que AB + BC ≠ AC. Pour cela, on réinvestit le théorème de Pythagore (4e) et éventuellement les calculs avec des radicaux (3e) si on décide de travailler sans calculatrice.

     

    • des équations de droites

    On réinvestit la caractérisation de l'appartenance d'un point à une droite par le fait que ses coordonnées vérifient l'équation de cette droite.

     

     

     

    Documents utiles


     

    • les triangles de curry (énoncé pour les élèves)

     

    • animation