Espace et géométrie

Publié le 15 janv. 2014 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  mercredi 15 janvier 2014

Chasse au trésor en mer des Caraïbes

Un problème d'équidistance

  • Epave

    Présentation de l’activité


     

    Dans une vieille malle, Victor et Louise ont découvert une carte de la mer des Caraïbes et un parchemin de leur ancêtre, le célèbre pirate Olivier Levasseur, dit "la Buse".

     

    Carte

     

    zoom

    Parchemin1


     

    Le but du problème est de retrouver le trésor du pirate.

     

     

     

    Public


     

    Ce problème s'adresse à des classes de 5e.

     

     

     

    Objectifs


     

    Découvrir l'existence et la construction du point équidistant de trois autres.

     

     

     

    Pré-requis


     

    • Caractérisation des points de la médiatrice de [AB] par la propriété d'équidistance à A et à B.

     

    • Utilisation basique de Géogébra.

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

     • Présentation du problème et premier échec

     

    Lors de la présentation du problème, on donnera aux élèves le parchemin du pirate et la carte de la mer des Caraïbes. On demandera d'y positionner précisement le lieu de l'épave.

     

    La plupart des élèves marquent alors le milieu du segment [Bluefields Guanica]. On propose alors à chacun d'aller vérifier sa réponse en mettant à disposition un fichier Géogébra :

     

    - Il est possible d'y effectuer toutes les constructions usuelles.

    - En déplaçant à la souris le scanphandrier (la croix rouge), on indique où l'on souhaite mener les fouilles.

    - Si l'endroit est le bon (on attend que le scaphandrier soit alors placé avec une grande précision ; on n'hésitera donc pas à zoomer), l'épave apparaîtra à l'écran.

     


     

     

    En positionnant le scanphandrier au milieu du segment [Bluefields Guanica], les élèves tombent sur "un requin" marquant leur échec.

     

     

    Tresor10

     

     

     • Recherche d'autres solutions

     

    Se pose alors la question de savoir s'il pourrait y avoir d'autres lieux qui sont à égale distance des deux villes.

     

    Si la médiatrice n'est pas citée, on incitera les élèves à repasser sur la carte papier et à chercher (quitte à tâtonner) d'autres points pouvant correspondre. En ayant placé plusieurs d'entre eux, on devrait alors voir réapparaitre la médiatrice du segment, qu'on pourra alors construire sur Géogébra (on réinvestit alors qu'elle est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu).

     

    Malheureusement, en déplaçant le scaphandrier le long de cette médiatrice, on ne parvient pas à retrouver l'épave (manque de précision).

     

     

      • Nouvelles données et recherche de la solution

     

     Dans un double fond de la malle, on découvre alors la seconde partie du parchemin.

     

     

    Parchemin2 

     

     

    Le problème est alors de savoir s'il est possible de trouver un ou plusieurs points qui soient à égale distance de trois autres.

     

    Il est possible de mener des recherches en tâtonnant :

     

    • à la règle sur le papier ou à l'aide de Géogébra

     

    • en créant (puis en déplaçant à la souris) un point supplémentaire (éventuellement placé sur la médiatrice déjà tracée) et en affichant les distances de ce point aux 3 villes.

     

     

    Tresor12

     

     

    En jouant sur le nombre de décimales affichées, on met en avant la lourdeur et les imperfections de cette technique. Mais, celle ci devrait au moins permettre à chacun de se convaincre de l'existence d'un unique point.

     

    Finalement, on cherchera à savoir s'il était possible de construire ce point. On reviendra sur la première médiatrice tracée qui garantit à un point placé dessus, d'être à égale distance de Bluefields et de Guanica (mais pas forcément de Cartagena). On se demandera alors où placer un point pour être, par exemple, à égale distance Bluefields et de Cartagena. On sera alors amené à tracer une deuxième médiatrice et à considérer le point d'intersection des deux.

     

    Lors d'un temps de mise en commun, on justifiera précisemment pourquoi un tel point est bien à égale distance des trois autres.

     

     

    Tresor11

     

     

     

    Prolongement possible


     

    On pourra proposer à des élèves qui auraient résolu le problème avant les autres de réfléchir, à l'aide de Géogébra, à la possiblité de trouver un point à égale distance de 4 autres.

     

     

     

    Documents utiles


     

    • Carte de la mer des Caraïbes

    • Parchemin (partie 1)

    • Parchemin (partie 2)

    Fichier géogébra