Présentation de l’activité

Le centurion ordonne à ses légionnaires :

 « Rangez-vous par 4 ! ». Les soldats s’exécutent, mais le dernier rang est incomplet : il ne compte que 3 soldats.

 « Mettez-vous par 5 ! », hurle alors le centurion ; mais au dernier  rang, incomplet, on compte de nouveau 3 soldats.

 « Eh bien, rangez-vous par 7 ! ». Encore une fois, le dernier rang reste incomplet : on y compte toujours 3 soldats.

Le problème est d'aider le centurion à ranger ses légionnaires pour que tous les rangs soient complets.

d'après Mathématiques sans frontière 2011

Public

L’activité proposée peut s’adresser à des classes de 6^e, 5^e ou de 3^e.

Objectifs

- En 6^e ou 5^e il s'agira de réinvestir les connaissances sur la division euclidienne et de travailler les notions de diviseurs et de multiples.

- En 3^e, on pourra présenter ce problème en introduction du thème sur l'arithmétique pour remobiliser les connaissances sur les diviseurs avant de découvrir la notion de PGCD.

Pré-requis

 Mathématiques

- division euclidienne : quotient, reste, diviseur, a = bq + r

T.I.C.E.

- entrer des formules dans un tableur.

Déroulement de l’activité

• Présentation et premières recherche à l'aide de la calculatrice

La tâche est rendue problématique par la non connaissance du nombre de légionnaires. Après la présentation de la situation, un court débat avec la classe devrait permettre d'arriver à formuler le problème principal : déterminer le nombre de légionnaires.

Quelques questions devant permettre à chacun de démarrer :

- Est-ce que si on choisit un nombre quelconque de légionnaires et qu'on cherche à les ranger par 4, par 5 puis par 7, on obtiendra systématiquement un reste de 3 légionnaires au dernier rang ?

- Peut-on trouver un tel nombre ? Plusieurs ?

A l'aide d'un papier, d'un crayon les élèves commencent leurs rangements en s'appuyant sur des dessins :

Exemple : 43 légionnaires

Pour accélérer les recherches, on demandera s'il était possible, par exemple, d'effectuer le rangement des légionnaires sans faire de dessin.

Exemple : 43 légionnaires

Pouvait-on prévoir qu'en rangeant ces 43 légionnaires :

- par 4, on obtiendrait 10 rangées de 4 légionnaires + 3 légionnaires ?

- par 5, on obtiendrait 8 rangées de 5 légionnaires + 3 légionnaires ?

- par 7, on obtiendrait 6 rangées de 7 légionnaires + 1 légionnaire ?

43 = 10 x 4 + 3

43 = 8 x 5 + 3

43 = 6 x 7 + 1

Il suffit d'effectuer la division euclidienne de 43 par 4, 5 et 7.

On cherche finalement un nombre dont les restes des divisions par 4, 5 et 7 sont tous égaux à 3.

A l'aide d'une calculatrice, les élèves continuent de tester quelques nombres.

Exemple : 59 légionnaires

Par 4	Par 5

On pourra montrer la touche "division euclidienne".

• Expérimentation au tableur

L'utilisation du tableur permet d'accélerer encore les recherches. Il s'agit d'automatiser les divisions euclidiennes entreprises à la calculatrice.

Il pourra alors être necessaire de présenter la fonction "partie entière" : = ENT( )

Une autre possibilité consistera à travailler avec la fonction "quotient" : = QUOTIENT()

Il apparaît alors plusieurs solutions possibles. On pourra alors soit fixer une contrainte supplémentaire (il y a, par exemple, moins de 150 légionnaires dans la centurie) soit laisser les élèves étudier plusieurs de ces cas.

On est alors amené à rechercher les diviseurs des différentes solutions. Cette recherche peut se faire à la calculatrice ou au tableur :

L'étude du cas "143 légionnaires" laisse apparaître 2 rangements acceptables : 13 rangées de 11 légionnaires et 11 rangées de 13 légionnaires.

L'étude du cas "283 légionnaires" peut être l'occasion d'un premier contact avec les nombres premiers.

• Solution experte

Il était possible de déterminer le nombre de légionnaires plus rapidement.

Pour celà, on pourra suggérer, dans un premier temps, de mettre de côté 3 légionnaires et de chercher le nombre de légionnaires restant.

Dans cette configuration, les rangements par 4, par 5 et par 7 étant possibles, on sera donc amener à trouver un nombre qui soit un multiple de 4, de 5 et de 7.

Cette recherche pourra une fois encore se mener à la calculatrice ou au tableur mais à ce moment de l'étude on pourra se demander comment obtenir rapidement un tel nombre (un nombre qui soit à la fois dans la table de 4, de 5 et de 7).

Le nombre 4 × 5 × 7 = 140 est une solution qui peut être avancée par les élèves. On retrouve alors que le nombre total de légionnaires peut être de 143.

On pourra chercher d'autres solutions. La classe avancera tous les multiples de 140 et retrouvera ainsi tous les résulats obtenus au tableur. Finalement, on pourra représenter l'ensemble des nombres possibles de légionnaires à l'aide du programme de calcul 140n + 3.

Documents utiles

- Enoncé pour les élèves