Nombres et calculs

Publié le 9 juil. 2014 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  mercredi 9 juillet 2014

Mathémagie de forum

Comprendre les dessous d'un tour de passe-passe

  • Pédimètre

     

    Présentation de l’activité


     

     

    Voici une expérience proposée sur un forum :

     

    - Prends ta pointure de chaussure et multiplie-la par 5.
    - Ajoute 50 au résultat obtenu.
    - Multiplie le tout par 20.
    - Ajoute 1014* au résultat obtenu.
    - Enfin, soustrais ton année de naissance au résultat.

    Tu as obtenu un nombre à 4 chiffres. Les 2 premiers indiquent ta pointure de chaussure, les deux derniers indiquent ... ton age !

     

    Le but du problème est de vérifier la validité et la solidité d'un tel algorithme.

     

     

     

    Afin de différencier le travail, on pourra proposer un programme équivalent plus simple :

     

    - Prends ta pointure de chaussure et ajoute 10.
    - Multiplie le résultat par 100.
    - Ajoute 1014* au résultat obtenu.
    - Enfin, soustrais ton année de naissance au résultat;

     

     

    * Nombre à ajuster en fonction de l'année où est présenté le problème.

     

     

     

    Public


     

     

     Ce problème pourra être proposé à des classes de 5e ou de 4e.

     

     

     

    Objectifs


     

     

    • Expérimenter, mener à bien des calculs puis algébriser une situation à deux variables pour démontrer une propriété.

     

    • Critiquer un résultat.

     

    • Utiliser un tableur.

     

     

     

    Pré-requis


     

    Mathématiques

     

    • Produire une expression littérale.

     

    • Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition pour développer et réduire un programme de calcul.

     

    T.I.C.E.

     

    • Créer une feuille de calculs, insérer une formule.

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

    Présentation

     

    A l'aide d'un vidéo projecteur on présente à la classe le tour de magie trouvé sur un forum.

     

    Face à la surprise des élèves, la classe est elle même capable de formuler le problème : "On se demande si ce programme de calcul produit bien les effets annoncés."

     

    On autorise l'usage des calculatrices mais on insiste sur la nécessité qu'il y ait des traces de travail sur les cahiers.

     

     

    Temps de recherche

     

    Les élèves se lancent papier / crayon / calculatrice sur des premiers tests, probablement avec des données personnelles : "Ça marche !"

     

    On relance l'étude : "Est-ce que le programme fonctionne avec d'autres dates de naissance et d'autres pointures ?"

     

    Après quelques essais, des élèves réclameront peut être le tableur.

     

     

    Premier bilan intermédiaire

     

    Au tableau, on fait le point sur quelques tests. Ça peut être l'occasion de revenir sur la présentation et l'organisation des calculs.

     

    A ce moment de l'étude la grande majorité de la classe devrait être convaincue que le tour de magie fonctionne tout le temps.

     

    On relance à nouveau l'étude : "Comment pourrait-on contrôler que le tour fonctionne pour n'importe quelles dates de naissance et n'importe quelles pointures, pour toutes les dates de naissance et toutes les pointures ?"

     

    L'utilisation répétée du même programme de calcul justifie l'utilisation du tableur.

     

     

    Temps de recherche

     

    On observera des élèves qui consacreront une colonne à chaque opération du programme.

     

     

    mathemagie01

     

     

    Pour relancer le travail, on pourra par la suite leur demander s'il est possible de réduire l'ensemble des opérations à une seule colonne.

    Des résultats inattendus et incorrects amèneront les élèves à s'interroger sur la nécessité d'utiliser des parenthèses dans l'écriture du programme.

     

     

    Exemple d'une feuille de calculs incorrecte :

     

    mathemagie03

     

     

    Exemple d'une feuille de calculs correcte :

     

    mathemagie02

     

     

    En multipliant les essais au tableur, certains élèves réalisent que le programme ne donne pas toujours les résultats attendus.

    On pourra guider les autres : "Ce programme fonctionne t-il pour des personnes très jeunes ? Très âgées ? De grandes pointures ? De petites pointures ?"

     

    On prolonge encore l'étude : "Pour quelles dates de naissances et pour quelles pointures ce programme donne t-il les résultats attendus ?"

     

    Le tableur permet d'explorer rapidement cette question et d'y apporter une réponse.

     

     

    Deuxième bilan intermédiaire

     

    Au vidéo projecteur on revient sur l'utilisation du tableur et on mutualise les réponses au problème obtenues par la classe.

     

    On fait également le point sur l'écriture littérale du programme de calcul mis en jeu. Selon les connaissances de la classe, on pourra l'écrire ( ( p × 5 ) + 50 ) × 20 + 1014 - a ou ( 5p + 50 ) × 20 + 1014 - a.

     

    On relance une dernière fois l'étude : "Comment, sans faire de test, sans utiliser le tableur aurait-on pu savoir que ce programme fonctionne pour n'importe quelle pointure humaine et n'importe quelle date de naissance postérieure à 1914 ?".

     

    La classe a pu déjà rencontrer des situations similaires où la réponse est venue du développement et de la réduction d'un programme de calcul.

     

     

    Temps de recherche

     

    On laisse quelques minutes aux élèves pour développer et réduire ce programme. On circule dans les rangs pour les aider.

     

    Une fois la réduction terminée on les amène à s'interroger : "Le programme réduit permet-il d'expliquer pourquoi le programme initial ne donnait les résultats attendus que pour des dates de naissance postérieures à 1914 ?".

     

     

    Bilan final

     

     On revient sur le développement et la réduction.

     

    ( 5p + 50 ) × 20 + 1014 - a

    100p + 1000 + 1014 - a

    100 p + 2014 - a

     

    On lance le débat dans la classe :

     

    - On prend une pointure et on la multiplie par 100. Que pensez-vous du résultat obtenu ?

     

    - Au nombre 2014, on retranche la date de naissance. Que pensez-vous du résultat obtenu ?

     

    - Qu'obtient-on lorsqu'on additionne ces deux derniers résultats ?

     

     

     

    Prolongement possible


     

     

    • Certains élèves ont du remarquer que l'année prochaine, le programme ne donnera plus les résultats attendus. On pourra leur demander comment modifier le programme pour le rendre à nouveau opérationnel.

     

    • Est-il possible d'ajuster le programme pour qu'il fonctionne aussi pour des centenaires ?