Espace et géométrie

Publié le 9 juil. 2014 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  mercredi 9 juillet 2014

Résolution d'un triangle rectangle

Une activité d'étude et de recherche pour introduire le cosinus d'un angle aigu.

  • Triangles ARS et BKL

    Présentation de l’activité


     

    Un triangle a six parties : les longueurs de ses trois côtés et les mesures de ses trois angles.

     

    On souhaite savoir s'il est possible de déterminer les parties manquantes de ces deux triangles.

     

     

    D'après "Des maths ensemble et pour chacun", CRDP Pays de la Loire

     

     

     

    Public


     

     Cette activité s'adresse à une classe de 4e.

     

     

     

    Objectifs


     

     Faire découvrir le cosinus d'un angle aigu.

     

     

     

    Pré-requis


     

    Mathématiques

     

    • Théorème de Pythagore

    •Somme des angles d'un triangle

     

     

    T.I.C.E.

     

    • Commandes simples de Géogébra : segments, demi droites, angle de mesure donné, longueur d'un segment...

    • Commandes avancées de Géogébra : curseur, enregistrer des données dans le tableur.

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

    1re partie : résolution des triangles ARS et BKL.

     

     

    1) Présentation

     

    On définit avec la classe ce que sont les parties d’un triangle : les longueurs des trois côtés et les mesures des trois angles.

    On précise qu’autant que possible, on cherchera à calculer ces parties.

     

     

    2) Temps de recherche

     

    A l’aide du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ARS et de la somme des angles dans le triangle BKL, les élèves calculent RS et KBL.

     

    On relance l’étude :

     

    - « Existe-t-il des techniques pour calculer les autres parties ? »

    - « Peut-on malgré tout connaître ces parties ? »

     

    En construisant aux vraies dimensions les deux triangles, les élèves peuvent mesurer RAS, ASR, BL et KL.

     

     

    3) Mise en commun

     

    On fera le point sur chaque partie et on insistera sur la différence entre calculer et mesurer.

     

    On annonce à la classe que dans les séances à venir on va apprendre à calculer ces parties qu’on ne sait pour l’instant que mesurer et en particulier, qu’il sera possible de calculer BL et KL à partir de BK.

     

    On introduit le vocabulaire suivant :

     

    Cosinus01

     

     

     On va apprendre à calculer la longueur du côté adjacent à un angle, à partir de la longueur de l’hypoténuse.

     

     

    2e partie : calculer la longueur du côté adjacent à un angle de 60° à partir de l'hypoténuse.

     

     

    1) Présentation

     

    On annonce qu’on va étudier aujourd’hui le cas particulier où l’angle mesure 60°.

     

    On pose le problème :

     

     

    ♥ Trouver un moyen de calculer la longueur du côté adjacent à un angle de 60° à partir de la longueur de l’hypoténuse.

     

     

     2) Temps de recherche

     

    Pour guider les élèves, on pourra poser la question suivante :

     

    « Que pourrais-tu faire pour voir s’il existe un rapport simple entre la longueur du côté adjacent à un angle de 60°  et  l’hypoténuse ? »

     

    Les élèves sont amenés à dessiner un triangle rectangle ayant un angle de 60° et conjecturent aisément le fait que la longueur du côté adjacent à l’angle de 60° est la moitié de la longueur de l’hypoténuse.

     

    On relance l’étude :

     

    « Ce rapport est-il le même :

     

    - pour un autre triangle ayant un angle de 60 ° ?

    - pour tous les triangles ayant un angle de 60° ? »

     

    Après avoir expérimenté sur quelques constructions faites aux instruments :

     

    « Serait-il possible de contrôler rapidement ce résultat sur un grand nombre de triangles rectangles ayant un angle de 60° ? »

     

    On incite ainsi les élèves à utiliser Géogébra.

     

     

    3) Mise en commun

     

    A l’aide d’un vidéo projecteur, on construit avec la classe une figure sur Géogébra permettant d’expérimenter rapidement.

     

    On conclut :

     

     

    Cosinus02

     

     

    ♥ On obtient la longueur du côté adjacent à un angle de 60° en divisant la longueur de l’hypoténuse par 2 (ou en la multipliant par 0,5).

     

    On peut décider de faire démontrer ce résultat; cela ne pose aucune difficulté. On peut aussi renvoyer la démonstration à plus tard car elle ne sera qu'un cas particulier de la démonstration générale qui prendra appui sur le théorème de Thalès.

     

     

    3e partie : calculer la longueur du côté adjacent à un angle de mesure donnée à partir de l'hypoténuse

     

     

    1) Présentation

     

    Le problème est de savoir si pour d’autres angles que 60°, il existe encore une multiplication permettant d’obtenir la longueur du côté adjacent à cet angle, à partir de l’hypoténuse.

     

    Les élèves travailleront par groupe et un angle sera confié à chaque groupe (par exemple 29°, 35°, 49°, 74°, 83°).

     

    ♥ Trouver un moyen de calculer la longueur du côté adjacent à l’angle qui vous a été confié à partir de la longueur de l’hypoténuse.

     

     

    2) Temps de recherche

     

    Selon un scénario identique au cas de l’angle de 60°, les élèves conjecturent un rapport en construisant des figures aux vraies dimensions (on conduira vers la division ceux qui tâtonnent pour trouver ce rapport). Au sein d’un même groupe, l’imprécision des mesures conduit à des rapports légèrement différents. L’utilisation de Géogébra permettra de pallier ce problème et surtout d’obtenir rapidement un grand nombre de figures.

     

     

    3) Mise en commun

     

    On distribue à la classe ce document et un représentant de chaque groupe viendra noter le coefficient multiplicatif permettant de passer de la longueur de l’hypoténuse à celle du côté adjacent à son angle.

     

     

    Cosinus03

     

     

    A l’aide d’une figure Géogébra et en jouant à la fois sur les longueurs des triangles et sur la mesure de l’angle, le professeur pourra montrer que pour n’importe quel angle, il existe un nombre qui multiplié à la longueur de l’hypoténuse donne la longueur du côté adjacent à cet angle.

     

     

    Cosinus04

     

     

    Le professeur présente alors l’ensemble de ces nombres.

     

     

    Cosinus05

     

     

    Ces nombres sont appelés les cosinus des angles. Les calculatrices connaissent ces nombres. On montre comment les retrouver à l’aide d’une calculatrice.

     

     

    ♥ Il est possible de calculer la longueur du côté adjacent à un angle en multipliant la longueur de l’hypoténuse par un nombre qui ne dépend que de la mesure de cet angle : le cosinus de l’angle.

     

     

    Pour finir, on reviendra sur le calcul des longueurs BL et KL.

     

     

    4e partie : calculer la mesure d’un angle

     

     

    Plus tard dans la séquence, après avoir réinvesti des calculs de longueurs à l'aide du cosinus dans des situations différentes, on sera amenés à revenir sur la résolution du triangle ARS. On cherchera alors par quels nombres multiplier la longueur de l’hypoténuse pour obtenir les longueurs des côtés adjacents.

     

    A l’aide de la table de cosinus (et dans un second temps, de la calculatrice), on retrouvera ensuite les angles qui ont ces nombres pour cosinus.

     

     

     

    Documents utiles


     

    • Enoncé du problème

     

    • Document pour la mise en commun

     

    • Fichier Géogébra pour le bilan