Nombres et calculs

Publié le 12 mars 2014 Modifié le : 25 oct. 2017

Écrire à l'auteur

Le  mercredi 12 mars 2014

Carrés magiques

Une situation autour des carrés magiques pour travailler le calcul littéral

  • CM 3 14 7 6

     

     

    Présentation de l’activité


     

    Le but du problème est de compléter ce carré magique*.

     

     * On utilise uniquement des entiers (naturels ou relatifs). Les sommes des nombres sur chaque rangée, sur chaque colonne et sur chaque diagonale devront être égales.

     

     

     

    Public


     

    Cette situation s'adresse avant tout à des élèves de 4e.

     

    En se restreignant à la phase expérimentale, elle peut être proposée à des élèves de 6e ou de 5e notamment pour une première utilisation du tableur.

     

     

     

    Objectifs


     

    • Réinvestir le calcul littéral dans une situation nouvelle

    • Utiliser un tableur

    • Expérimenter, conjecturer, démontrer

     

     

     

    Pré-requis


     

    Mathématiques

    • Réduction des programmes de calculs et en particuler a - ( b + c ) = a - b - c et a - ( b - c ) = a - b + c

    • Résolution d'une équation du premier degré

     

    T.I.C.E.

    • Insérer une formule dans une feuille de calcul.

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

    Présentation

     

    Devant les élèves, on construira au tableau le carré magique en complétant les quatre premières cases.

    On pose le problème : "Avec ces 4 nombres, pouvez-vous compléter ce carré magique ?"

    On sera peut être amené à redéfinir, avec la classe, ce qu'est un carré magique.

     

     

    Temps de recherche

     

    On veillera à ce que les élèves développent une stratégie rationnelle pour compléter les cases, en travaillant par condition nécessaire :

     

    - "A t-on une idée de la somme magique de ce carré ?"

    - "Y a t-il des cases faciles à compléter, pour lesquelles, on n'a pas le choix du nombre à y placer ?"

     

     

     CM02

     

     

    Pour compléter les trois dernières cases, il exsite plusieurs stratégies qui conduisent à des résultats différents.

     

    Dans tous les cas, une fois le carré complété, il importe de contrôler toutes les sommes : elles ne sont pas toutes égales à 24.

     

    On relance l'étude auprès de chaque élève :

     

    - "Y a t-il des erreurs dans tes calculs ?"

    - "Si tu avais complété les trois dernières cases en procédant différement, aurais-tu pu obtenir des sommes toutes identiques ?"

     

    On questionne les élèves jusqu'à ce qu'ils soient convaincus de l'impossibilité de compléter ce carré.

     

     

    Premier bilan intermédiaire

     

    En pleinière, on fait le point sur les différentes stratégies abordées et on essaye de complèter le carré magique en explorant les différentes pistes.

     

    Voici une façon de compléter le carré, en procédant par condition nécessaire :

     

     

    CM05

     

    On conclut avec la classe à l'impossibilité de compléter, en l'état, un tel carré.

     

    Le professeur supprime alors le nombre 6 écrit dans la quatrième case et formule un nouveau problème :

     

    - "Puisqu'en choisissant 6, on ne parvient pas à compléter le carré, à présent, c'est vous qui êtes libres de choisir le nombre de la quatrième case. Pourriez-vous trouver un nombre pour cette quatrième case qui permette de compléter le carré magique ?"

     

     

    CM03

     

     

    Temps de recherche

     

    Les élèves procèdent à plusieurs essais sur le cahier. Si un élève trouve une solution, on relance son travail en lui demandant s'il pourrait en trouver une autre.

     

    La répétition des mêmes procédures de calcul justifie l'utilisation d'un tableur (on prépare ainsi l'utilisation du calcul littéral) :

     

    - "Comment pourrait-on automatiser la complétion du carré, une fois la valeur pour la quatrième case choisie ?"

    - "Comment pourrait-on automatiser les calculs des sommes ?"

     

    Il exsite là encore plusieurs programmes de calculs possibles pour compléter certaines cases.

     

    Voici une façon de procéder :

     

    CM04

     

     

     Grâce au tableur, on se convainc qu'il n'existe qu'une seule solution au problème : choisir 12.

     

     

    Deuxième bilan intermédiaire

     

    On revient sur l'utilisation du tableur et sur l'existence d'une unique solution : en effet, lorsque la valeur de la 4e case varie de façon monotone, on observe que les sommes différentes de 24 varient elles aussi de manière monotone. Cet argument renforce la conviction que 12 est la seule solution possible.

     

     

    CM06

     

     

    On relance enfin l'étude :

     

    - "Comment, sans tableur, sans multiplier les tests, on aurait pu savoir que 12 et que seulement 12 était solution ?"

     

    On pousse les élèves à utiliser le calcul littéral. On notera x le nombre de la 4e case.

     

     

    Temps de recherche

     

    On sera peut être amené à aider les élèves à compléter une première case. On s'appuyera pour celà sur le travail qui vient d'être fait au tableur.

     

    Voici une façon de procéder :

     

     CM07

     

     

    Toutes les cases complétées, il faudra contrôler si les sommes sont bien toutes égales à 24.

     

    Selon les stratégies utilisées, on remarquera qu'un ou deux programmes ne se réduisent pas à 24.

     

    Se posera alors la question :

     

    - "Ces programmes peuvent-ils donner 24 ? Peut-on trouver des valeurs de x pour lesquelles ces programmes donnent 24 ?"

     

    On est alors amener à résoudre une ou deux équations qui donneront la même solution : x = 12.

     

     

     

    Bilan

     

    On fait le point sur les différents programmes de calculs mis en jeu et on revient sur la résolution de(s) l'équation(s).

     

     

     

    Prolongement possible


     

     

    Choisir un nombre différent de 24 et demander aux élèves de construire des carrés magiques ayant ce nombre pour somme magique.

     

    Attention !

     

    - Tout nombre ne convient pas (la somme magique est toujours un multiple de 3).

     

    - De plus, le choix par les élèves des 3 premières cases ne leur garantit pas de pouvoir trouver une valeur pour la 4e case qui permette ensuite de compléter le carré (la résolution des équations finales peut parfois donner un résultat non entier).