Espace et géométrie

Publié le 9 juil. 2014 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  mercredi 9 juillet 2014

Une figure tronquée

Une situation pour amener les élèves à découvrir le théorème de la droite des milieux.

  • La figure tronquée

     

    Présentation de l’activité


     

    ABC était un triangle, I est le milieu de [AB] et (IJ) était parallèle à (BC).

     

    On se demande s'il est possible de retrouver les dimensions du triangle ABC.

     

     

     

    Public


     

    Cette situation s'adresse à des classes de 4e.

     

     

     

    Objectifs


     

    • Faire découvrir le théorème de la droite des milieux.

     

    • Conjecturer un résultat, expérimenter pour se convaincre de sa validité, puis le démontrer à l'aide des éléments technologiques disponibles.

     

     

     

    Pré-requis


     

    Mathématiques

     

    • Propriétés des parallélogrammes (5e)

     

    T.I.C.E.

     

    • Construction de figures simples à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

    Présentation

     

    A l'aide d'un vidéo projecteur, on présente la figure tronquée et on explicite ses propriétés.

     

    On pose le problème : On se demande s'il est possible de retrouver les dimensions du triangle ABC.

     

    On distribue la figure.

     

    On laissera les élèves libres de leurs stratégies mais on interdira le prolongement des côtés du triangle sur la tâche d'encre et au delà de la feuille de l'énoncé.

     

     

    Temps de recherche

     

    A l'aide du compas ou du rapporteur, certains élèves reconstruisent sur le cahier la figure initiale et mesurent les côtés de ABC.

     

    On relancera alors leur étude : "Pouvait-on retrouver ces mesures sans redessiner la figure ?"

     

    Un grand nombre d'élèves est convaincu que J est au milieu de [AC] et qu'il suffit de mesurer [AJ] et d'en doubler la longueur.

     

    De la même façon, on pourra demander s'il n'y aurait pas une stratégie équivalente pour connaître la longueur de [BC].

     

     

    Bilan intermédiaire

     

    On revient sur la piste suivie par la classe : on mesure les longueurs de AIJ en on les double pour connaître les longueurs de ABC.

     

    On relance le travail : "Comment se convaincre que quand on trace n'importe quel triangle ABC, qu'on place un point I au milieu de [AB], qu'on trace la parallèle à [BC] passant par I, qu'on place un point J à l'intersection de [AC] et de cette parallèle, le triangle AIJ est toujours (ou pas) une réduction du triangle ABC à l'échelle 1/2 ?".

     

     

    Temps de recherche

     

    Des élèves envisagent des constructions sur le cahier pour contrôler la conjecture.

     

    L'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique permet d'obtenir rapidement un grand nombre de figures et de se convaincre du résultat.

     

    L'utilisation simultanée du tableur permet de comparer automatiquement AJ à la moitié de AC et IJ à la moitié de BC.

     

     

     

     

    Bilan final

     

    On revient sur la construction d'une figure dynamique permettant de répondre au problème.

     

    A ce moment de l'étude l'ensemble de la classe est convaincu du résultat.

     

    On pourra faire le choix soit de l'institutionnaliser soit de le démontrer. Dans ce cas, il faudra rappeler les règles du jeu mathématique : "Comment, sans géogébra, sans faire de figure, simplement en utilisant nos connaissances en mathématiques, aurait-on pu contrôler ce résultat ?"

     

    On pourra alors, en interaction avec la classe, procéder à la démonstration. On pourra ainsi réinvestir les connaissances de 5e sur le parallélogramme.

     

     

     

    Prolongements possibles


     

    Afin de généraliser ce résultat, on pourra, plus tard dans l'année, reprendre cette situation, en plaçant I sur [AB] tel que AI = 1/3 de AB.

     

     

     

    Documents utiles


     

    • La figure tronquée

     

    • Expérimentation avec Géogébra