Présentation de l’activité

On souhaite fabriquer une casserole ayant un volume de 1 L.

Public

 Ce problème peut être proposé à partir de la classe de 5^e.

Objectifs

- Réinvestir ou faire découvrir dans une situation qui leur donne du sens : le volume d'un cylindre, l'aire d'un disque et le patron d'un cylindre.

- Utiliser le tableur pour résoudre un problème.

- Optimiser une grandeur.

Pré-requis

Mathématiques

- Notion de volume d'un solide

- Notion de patron d'un solide

- Longueur d'un cercle

- Aire d'une figure complexe

T.I.C.E.

- Entrer des formules dans un tableur.

Déroulement de l’activité

Présentation

Cette situation peut se prêter à un travail de groupe.

On mettra des feuilles de papier A3 à disposition des élèves.

On présentera la situation : "On souhaite fabriquer une casserole (en papier) ayant un volume de 1 L."

On précisera que chaque groupe est libre de choisir les dimensions de sa casserole pourvu que son volume soit celui demandé.

Temps de recherche

Pour guider les groupes, on pourra les amener à réfléchir sur la nature des figures planes à dessiner et à découper pour fabriquer la casserole.

On sera peut être amené à repréciser que 1 L = 1000 cm3

La question du volume d'un cylindre, si elle est rencontrée pour la première fois peut être gérée de différentes façons :

- On donne le programme de calcul : rayon × rayon × pi × hauteur ou aire de la base × hauteur

- On laisse les élèves se renseigner sur internet : une recherche sur un moteur de recherche les conduira en général sur un site proposant un calcul automatique du volume d'un cylindre. On pourra dans un premier temps les laisser l'utiliser et tâtonner sur le rayon et la hauteur pour atteindre un volume proche de 1000 cm3. Mais dans un second temps, on les questionnera sur le fonctionnement de ce calculateur et on leur demandera de comprendre et d'écrire les calculs qu'il a réalisés.

Concernant la longueur à donner au rectangle du patron, on laissera éventuellement les élèves se tromper avant de constater avec eux que leur rectangle est trop long ou trop court. On questionnera alors : "Quelle longueur donner à ce rectangle si on souhaite qu'il enroule parfaitement le cercle ?" On sera alors peut être amené à rappeler comment calculer la longueur d'un cercle.

Bilan intermédiaire

On fera le point sur la réalisation du patron de la casserole.

On mettra en commun, sous la forme d'un tableau, les différents couples rayon / hauteur utilisés dans la classe. Afin de réinvestir le calcul du volume d'un cylindre, on laissera quelques secondes pour que chacun contrôle les volumes des différentes casseroles.

On constatera alors qu'il existe plusieurs casseroles possibles répondant au problème.

A l'aide d'un fichier Géogébra 5, on pourra faire visualiser à la classe, l'ensemble des solutions. On remarquera que lorsque le rayon augmente, la hauteur diminue et inversement.

On relancera le problème : "On souhaiterait disposer d'un grand nombre de dimensions possibles pour cette casserole."

Temps de recherche

On laissera dans un premier temps les élèves libres de travailler à la calculatrice ou au tableur : en effet la répétition des mêmes procédures de calcul justifie son utilisation.

A ce stade, un grand nombre d'élèves devrait encore, pour un rayon donné, chercher par essais erreurs la hauteur donnant un volume de 1000 cm3

On les conduira à réfléchir à comment trouver plus rapidement le nombre qui multiplié au produit R² × pi (à l'aire de la base) donne 1000.

Afin de préparer une mise en commun, on demandera à chacun de synthétiser ses recherches sur ce document :

Bilan intermédiaire

On revient sur la division donnant la hauteur : 1000 / ( R² × pi ) et on complète ensemble le document.

On relance le travail en imposant maintenant une automatisation des calculs à l'aide du tableur.

Temps de recherche

Le tableur permet d'obtenir rapidement un grand nombre de cylindres de volume 1000 cm3

On pose un nouveau problème : "Parmi toutes ces casseroles, y en aurait-il une plus économique qu'une autre à fabriquer ?"

Bilan intermédiaire

Cette question demande aux élèves de s'interroger sur les grandeurs qui font le prix d'une casserole : la masse de métal ; le volume de métal ; la nature du métal...

A l'aide de ce fichier Géogébra 5, on pose alors la question : "Parmi toutes ces casseroles, y en aurait-il une dont le patron serait plus léger que les autres ?"

On s'interroge sur la grandeur permettant de répondre à cette question : l'aire du patron.

A ce stade, des élèves demeurent encore septiques : si le volume de la casserole ne varie pas, il n'y a aucune raison que l'aire de ses patrons varie.

Temps de recherche

On complète la feuille de calculs initiée précédemment.

On constate d'abord que l'aire du patron varie.

On cherchera à savoir s'il en existe un d'aire minimale.

Une recherche au tableur permet de situer le rayon de ce patron autour de 6,8 cm.

Un élève pourra alors conjecturer que la casserole la plus économique est celle dont le rayon est égale à la hauteur.

En poursuivant son expérimentation au tableur, il se convainc de ce résultat.

On pourra demander aux élèves les plus avancés de fabriquer cette casserole.

 Bilan final

On revient sur l'utilisation du tableur.

On conclut : la casserole la plus économique est celle dont le rayon est égal à la hauteur.

On pourra demander aux élèves de contrôler chez eux si les casseroles sont ainsi faites.

Documents utiles

• Télécharger Géogébra 5

• Figure Géogébra 5 "Casserole"

• Figure Géogébra 5 "Casserole & patron"