Présentation de l’activité
On fait se couper deux baguettes* en plastique et on trace le quadrilatère formé par leurs quatre extrémités.
On souhaite savoir s'il est possible d'obtenir ainsi un losange, un rectangle et un carré.
* cette expérience est à réaliser à l'aide des "géo-règles", disponibles à la vente ici.
Public
Cette situation est prévue pour des classes de 5e.
Objectifs
• Conjecturer les propriétés relatives aux diagonales des losanges, rectangles et carrés.
• Expérimenter autour de ces conjectures.
Pré-requis
Mathématiques
• Notions élémentaires de géométrie (6e)
• Propriétés des parallélogrammes (5e)
T.I.C.E.
• Construction de figure simples à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique
Déroulement de l’activité
Présentation
On mettra à disposition de chaque élève :
• une feuille de papier A3
• un lot d'un dizaine de baguettes en plastique (dont certaines auront la même longueur)
• une attache parisienne
On explicite l'expérience à réaliser :
• choisir deux baguettes
• les faire se couper, et les fixer à l'aide de l'attache parisienne
• déposer l'ensemble sur la feuille de papier et marquer au feutre les quatre extrémités
• tracer le quadrilatère formé par ces quatre points
On pose le problème : "est-il possible d'obtenir ainsi un losange ? un rectangle ? un carré ?"
Temps de recherche
En tâtonnant avec les baguettes, les élèves arrivent à obtenir les quadrilatères demandés.
Au cas par cas, on questionne les élèves : "Comment s'assurer que le quadrilatère que tu as obtenu est bien un losange ? Un rectangle ? Un carré ?" On force ainsi le réinvestissement des définitions de ces quadrilatères. Les élèves contrôlent leurs constructions aux instruments et éventuellement les ajustent.
Lors d'un bref temps de mise en commun, on pourra institutionnaliser à nouveau que :
- un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur.
- un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits.
- un carré est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur et 4 angles droits.
Lorsqu'un élève a réussi les trois constructions demandées, il les découpera et les collera dans son cahier. On prolonge ensuite son travail : "Pourrais-tu expliquer comment obtenir à coup sûr un losange ? un rectangle ? un carré ?"
Par la suite, on pourra préciser la demande : "Pour chaque type de quadrilatère, pourrais-tu expliquer comment tu as choisi tes baguettes, par quels trous tu les as fixées et comment tu les as orientées ?"
En circulant dans les rangs, on met à l'épreuve les réponses des élèves et on les amène éventuellement à les affiner. Afin de prolonger le travail, on peut également les questionner sur la nécessité d'une condition qu'ils ont choisi d'imposer.
Bilan intermédiaire
On met en commun les techniques d'obtention des quadrilatères :
- losange : deux baguettes de longueurs différentes, fixées par leurs milieux et perpendiculaires
- rectangle : deux baguettes de même longueur, fixées par leurs milieux et non perpendiculaires
- carré : deux baguettes de même longueur, fixées par leurs milieux et perpendiculaires
On pourra faire remarquer que la nécessité d'avoir des diagonales qui se coupent en leurs milieux fait des ces quadrilatères des parallélogrammes particuliers.
On relance le travail : "Comment se convaincre que ces trois techniques produisent toujours les quadrilatères attendus ? Que se passe t-il si on choisit des grandes baguettes ? des petites ? Pourrait-on contrôler avec davantage de précision les longueurs des côtés ? Les mesures des angles ?
La nécessité d'expérimenter plus précisément et sur davantage de spécimens justifie l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique.
Temps de recherche
L'expérimentation de ces conjectures avec Géogébra demande aux élèves de bien distinguer ce qu'il y a à construire de ce qu'il y a à contrôler.
Pour différencier le travail entre les élèves, on pourra pour certains, limiter les menus aux outils nécessaires.
• Le losange
A construire : le quadrilatère formé par les quatre extrémités de deux segments de longueurs différentes, perpendiculaires et se coupant en leurs milieux.
A contrôler : l'égalité des longueurs des quatre côtés.
• Le rectangle
A construire : le quadrilatère formé par les quatre extrémités de deux segments de même longueur, non perpendiculaires et se coupant en leurs milieux.
A contrôler : la présence de quatre angles droits.
• Le carré
A construire : le quadrilatère formé par les quatre extrémités de deux segments de même longueur, perpendiculaires et se coupant en leurs milieux.
A contrôler : l'égalité des longueurs des quatre côtés et la présence de quatre angles droits.
Bilan final
On revient sur les différentes constructions avec Géogébra.
On pourra ensuite :
- soit institutionnaliser qu'on obtient :
• un losange en construisant un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leurs milieux et perpendiculaires.
• un rectangle en construisant un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leurs milieux et de même longueur.
• un carré en construisant un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leurs milieux, de même longueur et perpendiculaires.
- soit démontrer ses propriétés, si les éléments technologiques disponibles dans la classe le permettent. Dans ce cas, il faudra rappeler les règles du jeu mathématique : "Comment, sans géogébra, sans faire de figure, simplement en utilisant nos connaissances en mathématiques, aurait-on pu contrôler ce résultat ?"
Prolongements possibles
On pourra questionner sur les propriétés réciproques. On pourra alors envisager d'expérimenter à nouveau sur Géogébra.
Documents utiles
• Figure géogébra "losange"
• Figure géogébra "rectangle"
• Figure géogébra "carré"
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