Nombres et calculs

Publié le 9 juil. 2014 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  mercredi 9 juillet 2014

Une propriété algébrique

Conjecturer, expérimenter et démontrer une propriété algébrique

  • Vrai ou faux

     

    Présentation de l’activité


     

    Dans un premier temps, le but du problème est de contrôler ces égalités.

     

     

     

    Public


     

    Cette situation peut être présentée à partir de la classe de 4e.

     

     

     

    Objectifs


     

    • Faire découvrir la double distributivité.

     

    • Conjecturer une égalité algébrique, l'expérimenter puis la démontrer.

     

     

     

    Pré-requis


     

    Mathématiques

     

    • Equivalence de deux programmes

    • Développement et réduction de programmes de calculs à l'aide de la distributivité simple

     

     

    T.I.C.E.

     

    • Insérer une formule dans une feuille de calculs.

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

    Présentation

     

    On présente les calculs aux élèves et on leur demande de les contrôler, éventuellement de les corriger. L'utilisation de la calculatrice n'est pas autorisée.

     

     

    Temps de recherche

     

    Le travail se fait papier / crayon sur le cahier. Des opérations peuvent être posées.

     

     

    Bilan intermédiaire

     

    On revient rapidement sur chacun des calculs. Pour le dernier spécimen, on questionne : "Si le résultat n'est pas 15², est-ce qu'on aurait un moyen de connaître rapidement ce résultat ?"

    On note la réponse (13²) donnée par les élèves.

     

     

    Temps de recherche

     

    On relance aussitôt le travail sur deux nouveaux calculs :

     

    44 × 46 + 1 = ?

    89 × 91 + 1 = ?

     

    On questionne encore : "Pourriez-vous détailler sur votre cahier, comment vous procédez pour, un calcul de ce type, arriver si vite au résultat ?"

     

     

    Bilan intermédiaire

     

    On met en commun les réponses de la classe : "Lorsqu'on a 3 nombres entiers consécutifs, multiplier le premier par le dernier et ajouter 1 au résultat revient à mettre le deuxième au carré."

     

    On relance l'étude : "Cette technique fonctionne t-elle pour d'autres séries de trois nombres entiers consécutifs ? Pour toutes les séries ? Pourriez-vous trouver un moyen de la contrôler ?"

     

     

    Temps de recherche

     

    La répétition des mêmes procédures de calcul justifie l'utilisation d'un tableur.

     

    arith01

     

    Si cela n'a pas été fait, on pourra chercher à faire automatiser les calculs des 2e et 3e nombres de la liste.

     

    arith02

     

    Afin de préparer l'utilisation du calcul littéral, on pousse le travail un peu plus loin encore en demandant s'il serait possible de réduire cette feuille de calculs à 3 colonnes : le 1er nombre, le 1er programme et le 2e programme.

     

    arith03

     

     

    Bilan final

     

    On revient sur l'utilisation du tableur et on extrait les deux programmes de calculs mis en jeu :

     

    • n ( n + 2 ) + 1

    • ( n + 1 ) ( n + 1 )

     

    On relance à nouveau le travail : "Comment sans tableur, sans faire de test, aurait-on pu savoir que ces deux programmes étaient équivalents ?"

     

    C'est à dire : "Comment établir le résultat obtenu précédemment en utilisant les connaissances disponibles ?"

     

    La question de l'équivalence de deux programmes est au coeur du travail sur le calcul littéral depuis la classe 5e. A ce moment de l'année, les élèves doivent savoir qu'une technique pour la contrôler est de développer et réduire les programmes. Pour développer un programme, on utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. Celle ci devra avoir été régulièrement réinvestie depuis le début de l'année. On pourra à nouveau la formaliser : k ( x + a ) = kx + ka

     

    • Avec le concours de la classe, on se lance dans le développement du 1er programme : n ( n + 2 ) + 1 = n² + 2n + 1

    Si c'est la première fois que la classe rencontre un programme du 2nd degré, la question de la réduction d'un tel programme doit être posée aux élèves. Leurs réponses peuvent être mises à l'épreuve à l'aide d'un tableur.

     

    Exemple d'un élève proposant de réduire n² + 2n + 1 en 4n + 1

     

    Arith04

     

     

    Après quelques essais infructueux, les élèves devront admettre qu'il n'est pas possible de réduire davantage un tel programme.

     

    • Le développement du 2nd programme est plus problématique car les élèves ne reconnaissent pas immédiatement un programme du type k ( x + a ). Pour s'y ramener, on pourra substituer, dans un premier temps, le premier n+1 par un K.

     

    ( n + 1 ) ( n + 1 ) = K ( n + 1 ) = K × n + K × 1 = ( n + 1 ) × n + ( n + 1 ) × 1 = n² + n + n + 1 = n² + 2n + 1

     

     

     

    Prolongements possibles


     

    • En classe de 4e, on pourra poursuivre le travail de découverte de la double distributivité par le problème "un carré mystérieux".

     

    • Cette situation peut être utilisée en 3e pour réinvestir la double distributivité et faire découvrir l'identité remarquable ( a + b )² = a² + b² + 2ab

     

    • Pour une classe de 3e, on peut envisager un travail similaire autour de l'égalité ( n - 1 ) n ( n + 1 ) + n = n3