Nombres et calculs

Publié le 9 juil. 2014 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  mercredi 9 juillet 2014

Un carré mystérieux

Une situation pour expérimenter au tableur et réinvestir la résolution algébrique d'une équation

  • Un carré

    Présentation de l’activité


     

    Lorsqu’on augmente de 5 cm le côté d’un carré son aire augmente de 111 cm2.

     

    On se demande s’il est possible de retrouver les dimensions du carré de départ.

     

     

     

    Public


     

     Cette situation peut être présentée à des élèves de 4e ou de 3e.

     

     

     

    Objectifs


     

    • Expérimenter au tableur autour d'une situation géométrique.

     

    • Mettre un problème en équation, la résoudre algébriquement.

     

    • Réinvestir la double distributivité (4e) et éventuellement découvrir deux identités remarquables (3e)

     

     

     

    Pré-requis


     

    Mathématiques

     

    • Résolution algébrique d'une équation du premier degré

    • Double distributivité

     

    T.I.C.E.

     

    • Insérer une formule dans une feuille de calculs.

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

    Présentation

     

    Il existe plusieurs façons de répondre à ce problème :

     

    - Une solution mettant en jeu une équation du premier degré 5 ( x + 5 ) + 5x = 111 peut être envisagée. C'est la technique dite du "gnomon d'Al Kwharizmi" qui permet de résoudre des équations du 2nd degré en se ramenant à des équations du 1er ; le gnomon étant ici joué par la surface d'aire 111 cm².

     

    - On peut aussi apporter une réponse purement arithmétique à la situation en travaillant sur la surface d'aire 111 cm².

     

    - Dans le scénario proposé, on envisage d'abord une autre façon de procéder : une technique expérimentale. Pour autant, on ne rejettera pas d'autres méthodes si elles sont envisagées par les élèves. On les laissera aller à leurs termes, avant de ramener ces élèves vers le travail du reste de la classe.

     

     

    Temps de recherche

     

    On pourra encourager les élèves à rechercher les dimensions de ce carré par tâtonnement. Cela permet à chacun de bien s'approprier le problème et notamment que les 111 cm² résultent de la différence entre deux aires.

     

    Si un élève atteint la solution, on relance son travail en lui demandant s'il pourrait exister une autre solution.

     

    La répétition de procédures de calcul identiques justifie l'utilisation d'un tableur.

     

    Carré02

     

     

    Bilan intermédiaire

     

    On revient sur l'utilisation du tableur et on apporte une solution au problème.

     

    On relance le travail : "Pourriez vous créer une feuille de calcul ne mettant en jeu que les deux grandeurs essentielles dans ce problème : le côté du carré initial et l'écart entre les deux aires ?" Ce travail permet de préparer la mise en équation du problème.

     

     

    Temps de recherche

     

    Carré03

     

     

    Bilan intermédiaire

     

    On revient sur l'utilisation du tableur et sur le programme de calcul mis en jeu : ( x + 5 )² - x²

     

    On demande enfin : "Comment sans tableur et sans tâtonnement aurait-on pu savoir que 8,6 était le seul nombre qui choisi dans ce programme allait donner 111 ?"

     

    C'est à dire : "Comment établir le résultat obtenu précédemment en utilisant les connaissances disponibles ?"

     

    Les élèves sont ainsi amenés à résoudre l'équation ( x + 5 )² - x² = 111.

     

     

    Temps de recherche

     

    Durant ce temps de recherche, on rappellera au cas par cas les différentes étapes de la résolution d'une équation.

     

     

    Bilan final

     

    On revient sur la résolution algébrique de l'équation et en particulier sur le développement de ( x + 5 )².

     

    En classe de 3e, tout en s'appuyant sur la double distributivité, on peut profiter de la situation pour introduire l'identité remarquable ( a + b )² = a² + b² + 2ab.

     

     

     

    Prolongements possibles


     

    • Un problème du même type (mais sans solution) pour réinvestir ce qui vient d'être travaillé et montrer à nouveau l'efficacité du calcul littéral :

     

    Lorsqu’on augmente de 4 cm le côté d’un carré, son aire augmente de 12 cm².

    Est-il possible de retrouver les dimensions de ce carré ?

     

     

    • Un problème similaire pour travailler le développement d'un programme du type ( x - a ) ( x - a ) et éventuellement découvrir l'identité remarquable ( a - b )² :

     

    Lorsqu’on diminue de 2 cm le côté d’un carré, son aire diminue de 67 cm².

    Est-il possible de retrouver les dimensions de ce carré ?