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Géométrie

Publié le 15 sept. 2011 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  jeudi 15 septembre 2011

Orthogonalité dans un triangle

Un problème d’optimisation : expérimenter, conjecturer, démontrer.

  • Dans un triangle rectangle, projections orthogonales, sur les deux côtés qui forment l'angle droit, d'un point mobile sur l'hypoténuse.

     

    Présentation de l’activité

    Soit ABC un triangle rectangle en A .

    Le point M est un point mobile sur le segment [BC].

    On appelle N et P les projetés orthogonaux de M respectivement sur les segments [AB] et [AC]. Soit I le milieu de [BC].

    On cherche à déterminer s’il existe une position du point M telle que les droites (AI) et (PN) soient perpendiculaires.

     

    Public

    L’activité proposée peut s’adresser :

    à une classe de 2de dès le début de l’année scolaire ;

    à une classe de 1re S. On peut alors démontrer l’unicité de la position du point M.

     

    Objectifs

    Expérimenter, conjecturer et démontrer sur un problème de géométrie plane.

    Conformément au programme officiel de seconde, cette activité aide « à poursuivre l’apprentissage d’une démarche déductive », en utilisant « les possibilités qu’offrent les logiciels de géométrie ».

     

    Pré-requis

    Mathématiques

    Utiliser des notions simples de géométrie plane (suivant la méthode suivie : droite des milieux, propriétés de la symétrie axiale, propriétés des parallélogrammes, positions relatives de droites parallèles et perpendiculaires ; ou propriétés des angles).

    T.I.C.E.

    Construire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique.

     

    Déroulement de l’activité

    La séance se déroule en salle informatique, un compte rendu est demandé à chaque élève, qui fera l’objet d’une évaluation.

    Les élèves travailleront en autonomie, en ayant la possibilité en cas de besoin de consulter des aides de niveaux gradués (aide méthodologique sur la démarche à suivre ou aide mathématique) et une aide technique d’utilisation d’un logiciel de géométrie. Il peut être envisagé de tenir compte, dans l’évaluation de l’élève, de chaque utilisation d’une aide.

     

    Apport de l’outil informatique

    L’expérimentation permet de conjecturer la position du point M : cette conjecture n’a rien d’évident et constitue une phase de recherche intéressante avant la démonstration.

    Cette activité permet de valider des compétences du B2i :

    Domaine 1 (s’approprier un environnement informatique de travail) : organiser son espace de travail ; être autonome dans l’usage des services et des outils.

    Domaine 3 (créer, produire, traiter, exploiter des données) :·concevoir des documents numériques en choisissant le logiciel, le service ou le matériel adapté ; exploiter des données ou des documents numériques ; modifier un ou plusieurs paramètres d’une situation simulée ou modélisée.

     

    Prolongements possibles

    Cette activité peut être le prolongement de l’activité « 3. Distance minimale dans un triangle », ou l’inverse…

     

    Documents utiles

    La fiche professeur qui reprend et complète cette présentation. Elle contient en annexes une fiche élève ; une aide méthodologique avec 3 niveaux ; une aide mathématique pour une démonstration par les angles avec 4 niveaux ; une aide mathématique pour une démonstration par les positions relatives de droites avec 4 niveaux.

    Fichiers complémentaires dans un dossier zippé : aide technique pour la construction de la figure (aidetechniquegeogebra.doc) et la figure réalisée sous Geogebra (orthofigure.ggb).