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Fonctions

Publié le 10 oct. 2011 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  lundi 10 octobre 2011

Aire minimale dans un rectangle

Expérimenter, conjecturer, démontrer pour optimiser une situation.

  • Présentation de l’activité


    On considère un rectangle `ABCD`  tel que `AB = 5` et `BC = 3`. On place les points `M``N` et `P` respectivement sur les segments `[AB]`, `[BC]`  et `[DA] ` de telle sorte que les longueurs `AM``BN` et `DP` soient égales.

    Il s’agit de déterminer la position du point `M` sur le segment `[AB]` telle que l’aire du triangle `MNP` inscrit dans le rectangle `ABCD ` soit minimale.

     

    Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique

    Triangle


    Conditions de mise en oeuvre


    Public : Seconde et diverses séries de 1e.


    Objectifs


    • Mathématiques

    — Expérimenter, conjecturer et démontrer sur un problème d’optimisation.
    — Expliciter, sous différents aspects (graphique, calcul, étude qualitative), la notion de fonction.
    — Progresser dans la maîtrise du calcul algébrique, sans recherche de technicité, toujours dans la perspective de résolution de problèmes ou de démonstration.
    — Reconnaître différentes écritures d’une même expression et choisir la forme la plus adaptée.
    — Décrire, avec un vocabulaire adapté, le comportement d’une fonction définie par une courbe.

    • Informatique

    — Construire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique.


    Déroulement de l’activité


    • Pour le scénario

    De par un énoncé court et aisé à s'approprier, cette activité peut être présentée sous forme ouverte. C'est à l'issue d'un débat constructif que peut être définie la variable (et l'ensemble des valeurs qu'elle prend), que peut être élaborée la stratégie de conjecturer à l'aide des TICE, ...

    • Pour l’expérimentation et la conjecture

    — En groupe en salle informatique, un ou deux élèves par poste.
    — La construction de la figure sur un logiciel de géométrie dynamique permet de conjecturer la solution.

    • Pour la démonstration

    — En classe entière.
    — Mise en place d’une stratégie de démonstration selon le scénario ou le prolongement du scénario opéré.


    Démonstrations & prolongements possibles


    • Expression de l’aire et minimum `m` conjecturé

    — Sur une feuille de travail Géogébra, on affiche les axes. On construit les points `A(0,0)``B(5,0)``C(5,3)` et `D(0,3)` puis le curseur `a` défini sur `[0;3]` . On crée ensuite les points `M(a,0)``N(5,a)` et `P(0,3-a)` puis le triangle `MNP` nommé `poly_i` par Géogébra.` ` On construit enfin le point de coordonnées `(a,poly_i)` dont on active la trace. On peut dès lors visualiser et conjecturer le sens des variations de `f`, puis conjecturer `m = 3,5` pour `x = 2`.

    Trace

    — En posant `x=AM` , l’aire du triangle `MNP` est `f(x)=x^2-4x+7,5` définie sur l’intervalle `[0;3]` .

    — Soit on factorise `f(x)-m`, soit on utilise la propriété de Géogébra décrite ci-dessous qui donne accès à la forme canonique de `f` .

    • Utilisation d’une propriété de Géogébra

    — On observe que la trace semble être une branche de parabole.
    — Saisir la fonction carré, et l’« amener » sur la trace.
    — Géogébra affiche alors une autre expression de `f` (on peut s’interroger sur l’égalité des expressions) qui permet en outre de répondre à la question…

    • Utilisation d’un graphique et d’une table de valeurs dans la détermination de la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2

    — On considère, par exemple, la fonction `x->f(x)=x^2-6x+5` ;
    — À l’aide d’un graphique obtenu sur calculatrice ou tableur, on conjecture l’existence et la valeur du minimum ;
    — On factorise.

    • Utilisation de la dérivée ou des propriétés des fonctions trinômes
    • Aide méthodologique et aide mathématique

    — Cette activité peut être accompagnée de fiches d’aide similaires à celles de l’activité Aire maximale dans un triangle.


    Source


    Activité inspirée d'une activité proposée par Michèle Artaud et Ghilaine Menotti (IUFM Aix-Marseille & Alsace) dans Enseigner les fonctions en seconde Fabriquer et faire vivre une organisation mathématique régionale.


    Liens avec les compétences du B2i


    Attention, les items validables sont donnés à titre indicatif et dépendent beaucoup du scénario envisagé

    Domaine

    Compétence

    Items

    D1. S’approprier un environnement informatique de travail Etre autonome dans l’usage des services et des outils L.1.1. Je sais choisir les services, matériels et logiciels adaptés à mes besoins
    D3. Créer, produire, traiter, exploiter des données Concevoir et publier des documents numériques en choisissant le logiciel, le service ou le matériel adapté
    Exploiter des données ou des documents numériques Modifier un ou plusieurs paramètres, une situation simulée ou modélisée
    L.3.5 Je sais produire une représentation graphique à partir d’un traitement de données numérique
    L.3.6 Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat