Présentation de l’activité

On considère un rectangle `ABCD`  tel que `AB = 5` et `BC = 3`. On place les points `M`, `N` et `P` respectivement sur les segments `[AB]`, `[BC]`  et `[DA] ` de telle sorte que les longueurs `AM`, `BN` et `DP` soient égales.

Il s’agit de déterminer la position du point `M` sur le segment `[AB]` telle que l’aire du triangle `MNP` inscrit dans le rectangle `ABCD ` soit minimale.

Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique

Conditions de mise en oeuvre

Public : Seconde et diverses séries de 1^e.

Objectifs

• Mathématiques

— Expérimenter, conjecturer et démontrer sur un problème d’optimisation.
— Expliciter, sous différents aspects (graphique, calcul, étude qualitative), la notion de fonction.
— Progresser dans la maîtrise du calcul algébrique, sans recherche de technicité, toujours dans la perspective de résolution de problèmes ou de démonstration.
— Reconnaître différentes écritures d’une même expression et choisir la forme la plus adaptée.
— Décrire, avec un vocabulaire adapté, le comportement d’une fonction définie par une courbe.

• Informatique

— Construire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique.

Déroulement de l’activité

• Pour le scénario

De par un énoncé court et aisé à s'approprier, cette activité peut être présentée sous forme ouverte. C'est à l'issue d'un débat constructif que peut être définie la variable (et l'ensemble des valeurs qu'elle prend), que peut être élaborée la stratégie de conjecturer à l'aide des TICE, ...

• Pour l’expérimentation et la conjecture

— En groupe en salle informatique, un ou deux élèves par poste.
— La construction de la figure sur un logiciel de géométrie dynamique permet de conjecturer la solution.

• Pour la démonstration

— En classe entière.
— Mise en place d’une stratégie de démonstration selon le scénario ou le prolongement du scénario opéré.

Démonstrations & prolongements possibles

• Expression de l’aire et minimum `m` conjecturé

— Sur une feuille de travail Géogébra, on affiche les axes. On construit les points `A(0,0)`, `B(5,0)`, `C(5,3)` et `D(0,3)` puis le curseur `a` défini sur `[0;3]` . On crée ensuite les points `M(a,0)`, `N(5,a)` et `P(0,3-a)` puis le triangle `MNP` nommé `poly_i` par Géogébra.` ` On construit enfin le point de coordonnées `(a,poly_i)` dont on active la trace. On peut dès lors visualiser et conjecturer le sens des variations de `f`, puis conjecturer `m = 3,5` pour `x = 2`.

— En posant `x=AM` , l’aire du triangle `MNP` est `f(x)=x^2-4x+7,5` définie sur l’intervalle `[0;3]` .

— Soit on factorise `f(x)-m`, soit on utilise la propriété de Géogébra décrite ci-dessous qui donne accès à la forme canonique de `f` .

• Utilisation d’une propriété de Géogébra

— On observe que la trace semble être une branche de parabole.
— Saisir la fonction carré, et l’« amener » sur la trace.
— Géogébra affiche alors une autre expression de `f` (on peut s’interroger sur l’égalité des expressions) qui permet en outre de répondre à la question…

• Utilisation d’un graphique et d’une table de valeurs dans la détermination de la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2
  

— On considère, par exemple, la fonction `x->f(x)=x^2-6x+5` ;
— À l’aide d’un graphique obtenu sur calculatrice ou tableur, on conjecture l’existence et la valeur du minimum ;
— On factorise.

• Utilisation de la dérivée ou des propriétés des fonctions trinômes

• Aide méthodologique et aide mathématique

— Cette activité peut être accompagnée de fiches d’aide similaires à celles de l’activité Aire maximale dans un triangle.

Source

Activité inspirée d'une activité proposée par Michèle Artaud et Ghilaine Menotti (IUFM Aix-Marseille & Alsace) dans Enseigner les fonctions en seconde Fabriquer et faire vivre une organisation mathématique régionale.

Liens avec les compétences du B2i

Attention, les items validables sont donnés à titre indicatif et dépendent beaucoup du scénario envisagé