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Fonctions

Publié le 17 sept. 2011 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  samedi 17 septembre 2011

Maximisation de l’aire et du périmètre de la section d’un cube

Visualisation des différentes formes de section d’un cube par un plan perpendiculaire à sa diagonale. Recherche du maximum.

  • image de présentation

    Présentation de l’activité


     On se propose de visualiser les différentes formes de section d’un cube par un plan perpendiculaire à sa diagonale.

    Dans un deuxième temps, on conjecturera l’existence d’un maximum pour l’aire et le périmètre de cette section et enfin on démontrera ce résultat.

    presentation maxi 1

    Cette étude peut être menée individuellement ou par deux, en partie en classe et le reste en devoir maison.

    Cette activité nécessite des temps de réflexions et de « recalage » entre les groupes.

     

    Conditions de mise en oeuvre


    Public : Terminale S

    Pré-requis :
    Mathématiques :

    • Géométrie élémentaire dans l’espace.
    • Etude de fonctions. Equation cartésienne d’un plan dans l’espace.

    TICE : Aucun

    Objectifs
    Mathématiques

    • Emergence de fonctions naturellement définies par morceaux (dont l’une d’elle a la particularité de présenter un extrémum sur tout un intervalle de la variable)
    • Réflexion a priori sur la continuité de cette fonction
    • Questionnement sur la recherche d’extréma de fonctions définies par morceaux
    • Calculs dans l’espace

    TICE

    • Intérêt des TICE pour visualiser des phénomènes dans l’espace, ici les différentes formes de la section
    • Intérêt des TICE pour émettre des conjectures, l’existence et les valeurs des maxima cherchés n’étant pas triviales
    • Réfléchir à une modélisation simple de la section à réaliser (insister sur l’importance d’une analyse préalable à la réalisation de la figure)

     

    Déroulement de l’activité


    1. Dans une salle informatique, présentation de la situation.
    2. Réflexions sur la construction de la section du cube par un plan perpendiculaire à sa diagonale, intérêt de disposer d’un paramètre numérique « pilotant » la section, choix de ce paramètre `t` .
    3. Distribution de la fiche élève.
    4. Les élèves disposent d’un logiciel de géométrie dynamique pour modéliser la situation et émettre des conjectures.
    5. Réflexions sur le calcul, en fonction de `t` , de l’aire et du périmètre de la section
    6. Calculs effectifs, à rédiger en devoir maison pour la semaine suivante, avec tracé des courbes.
    7. Le professeur présente en fin de séance l’animation complète faisant apparaître les courbes de l’aire et du périmètre de la section.
    8. Des temps sont gardés avant la date de rendu pour parler des difficultés rencontrées.

    presentation maxi 2

     

    Liens avec les compétences du B2i


    Attention, les items validables sont donnés à titre indicatif et dépendent beaucoup du scénario envisagé

    Domaine Compétence Items
    D1. S’approprier un environnement informatique de travail Etre autonome dans l’usage des services et des outils L.1.1. Je sais choisir les services, matériels et logiciels adaptés à mes besoins
    D3. Créer, produire, traiter, exploiter des données Concevoir et publier des documents numériques en choisissant le logiciel, le service ou le matériel adapté
    Exploiter des données ou des documents numériques Modifier un ou plusieurs paramètres, une situation simulée ou modélisée
    L.3.5 Je sais produire une représentation graphique à partir d’un traitement de données numérique
    L.3.6 Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat

     

    Prolongements possibles


    Réflexions sur la dérivabilité des fonctions étudiées.

    Reprendre l’étude sur d’autres solides de l’espace.