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Fonctions

Publié le 3 août 2013 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  samedi 3 août 2013

Embouteillages

Exploiter les variations d'une fonction - Déterminer un extremum.

  • Embouteillages

     

     

    Présentation de l’activité


     

    Sur une des voies d’une autoroute, des véhicules de longueur 4 m se suivent, tous à la même vitesse `v`, sans changer de file.

     

    L’objet de ce problème est de déterminer le nombre maximal de véhicules qui peuvent circuler sur cette voie.

     

    Pour être dans de bonnes conditions de sécurité, l’écart `E` entre les véhicules doit être supérieur ou égal à la somme de la distance parcourue pendant le temps de réaction du conducteur (notée `d_r` ) et de la distance de freinage (notée `d_f`).

     

    On sait que la distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse, c’est-à-dire que `d_f=alpha v^2`  où `alpha` est un coefficient qui dépend, entre autres, de la météo, de l’état des véhicules et de la nature de la chaussée. On admet que le temps de réaction du conducteur avant le début du freinage est de 1,2 seconde et que le coefficient `alpha` vaut `1/800` avec `v` exprimée en km/h et `d_f` en m.

     

     

     Utilisation d'une calculatrice graphique ou d’un logiciel de calcul formel

     

    Calculatrice xcas

      

     

     

    Conditions de mise en oeuvre


     

    Public : 1re et Terminale

     

     

     

    Objectifs


     

    • Mathématiques

     

    - Expérimenter, conjecturer et démontrer sur un problème d’optimisation.
    - Expliciter, sous différents aspects (graphique, calcul), la notion d'extremum.
    - Selon le scénarion, dans le cadre de la résolution de problèmes, le calcul de la dérivée d’une fonction est facilité par l’utilisation d’un logiciel de calcul formel.

     

    • Informatiques

     

    - Utilisation de la calculatrice et/ou d'un logiciel de calcul formel.

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

    • Pour le scénario

     

    Le début d'activité est délicat. Il est peut-être nécessaire de guider les calculs. On peut tout d'abord montrer que l'écart entre les véhicules, exprimé en mètres, doit être supérieur ou égal à `v/3+v^2/800`. Puis, après avoir remarqué que la distance `D`, en mètre, parcourue par une voiture en une heure est `1000v`, on montre que le nombre maximal de voitures qui se trouvent sur un morceau de voie long de D mètres est égal à `(1000v)/(4+v/3+v^2/800)`.

     

    • Pour la conjecture

     

    - Avec un logiciel de calcul formel, en salle informatique, ou avec vidéo-projection : calcul de dérivée, factorisation éventuelle, recherche directe d'extremum.
    - Avec la calculatrice : tracé, ajustement de la fenêtre sur l'intervalle `[0;160]`, utilisation de la fonction "zoom" (zoomfit, zoomminmax, ...) puis utilisation du mode "calculs" de la calculatrice.

     

    • Pour la démonstration

     

    Bien plus tard, si on l'estime utile, la démonstration pourra être "aidée" par l'utilisation d'un logiciel de calcul formel (factorisation de la dérivée, ...).

     

     

      Source : librement inspiré d'un exercice de l'Odyssée de Hatier.

     

     

     

    Liens avec les compétences du B2i


     

    Attention, les items validables sont donnés à titre indicatif et dépendent beaucoup du scénario envisagé.

     

    Domaine Compétence Items
    D1. S’approprier un environnement informatique de travail Etre autonome dans l’usage des services et des outils L.1.1. Je sais choisir les services, matériels et logiciels adaptés à mes besoins
    D3. Créer, produire, traiter, exploiter des données

    Concevoir et publier des documents numériques en choisissant le logiciel, le service ou le matériel adapté.


    Exploiter des données ou des documents numériques Modifier un ou plusieurs paramètres, une situation simulée ou modélisée

    L.3.5 Je sais produire une représentation graphique à partir d’un traitement de données numérique.


    L.3.6 Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat