Statistiques et probabilités

Publié le Jul 18, 2013 Modifié le : Oct 25, 2017

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Le  Thursday, July 18, 2013

La martingale de Hawks

Simuler... et se méfier

  • Présentation de l’activité

    Une martingale est une technique permettant d’augmenter les chances de gain aux jeux de hasard tout en respectant les règles de jeu. La plus connue est la martingale de Hawks : une méthode infaillible pour gagner de l’argent ?

    Parmi les jeux traditionnels de Casino, la Boule est l’un des jeux les plus populaires car comparable au jeu de la roulette mais en beaucoup plus simple.

    Elle est composée de cases numérotées de 1 à 9. Il est possible de miser rouge (2, 4, 7, 9), noir (1, 3, 6, 8), manque (1, 2, 3, 4), passe (6, 7, 8, 9), pair (2, 4, 6, 8) ou impair (1, 3, 7, 9). Le chiffre 5 n’est considéré ni pair, ni impair, ni manque, ni passe, ni rouge, ni noir.

    Si on mise sur l’une des six catégories ci-dessus et que celle-ci sort, le joueur gagne une fois la somme de l'enjeu, sinon l'argent est perdu.

    Trouvé sur internet :

    « La méthode gagnante !

    Vous n’avez qu’à doubler votre pari dès que vous perdez !

    En procédant ainsi, dès que vous remportez une partie, vous remboursez l’intégralité de vos pertes et empochez un petit bénéfice.

    Vous devez miser une mise de départ m qui pourra être misée 6 fois sans atteindre la mise maximale autorisée par le casino afin d’avoir de la marge.

    Je parie ma mise de départ m sur une des catégories décrites ci-dessus :

    – Soit je gagne, mon gain est de `m`   euros ;

    – Soit je perds. Je dois alors miser `2xxm`  euros au prochain coup. »

    Il s'agit, à l'aide d'un algorithme ou d'un tableur, de simuler des parties utilisant cette méthode magiques puis de conclure.

    Utilisation de Python

    Algo

     Conditions de mise en oeuvre

    Public : Seconde et diverses séries de 1e.

    Objectifs

    • Mathématiques

    Selon le scénario :

    - Concevoir, mettre en oeuvre et exploiter des simulations de situations concrètes à l’aide du tableur ou d’une calculatrice.
    - Simulation de la loi binomiale.
    - Simulation de la loi géométrique tronquée.

    • Informatiques

    - Concevoir un programme.

    Déroulement de l’activité

    • Pour le scénario

    De par un énoncé court et aisé à s'approprier, cette activité peut être présentée sous forme ouverte. C'est à l'issue d'un débat constructif que peut être définie la variable (et l'ensemble des valeurs qu'elle prend), que peut être élaborée la stratégie de conjecturer à l'aide des TICE, ... De nombreuses contraintes peuvent être prises en considération : mise minimum et mise plafond (toujours affichées dans un casino), durée du jeu (c'est à dire nombres de parties), somme jouée par le joueur... On peut fixer, par exemple, 1 comme mise minimale et 64 comme mise maximale et s'interroger sur la l'éventualité de perdre plus de 6 fois consécutivement.

    • Pour l’expérimentation et la conjecture

    - En groupe en salle informatique, un ou deux élèves par poste.
    - L'utilisation d'un tableur ou l'élaboration d'un algorithme permet de modéliser cette martingale et de conclure.

    • Pour quelques résultats théoriques

    - En classe entière.
    - Mise en place d’une stratégie de démonstration selon le scénario ou le prolongement du scénario opéré.
    - Un exemple de résultat possible : nommons "jeu" la considération d'une série de mises (emmenant soit au gain de l'enjeu soit à l'impossibilité de poursuivre la martingale et donc de perdre une très forte somme) ; il est possible de calculer la probabilité de "perdre" un jeu puis d'analyser ce qui se passe sur plusieurs jeux successifs.

    Liens avec les compétences du B2i

    Attention, les items validables sont donnés à titre indicatif et dépendent beaucoup du scénario envisagé

    Domaine Compétence Items
    D1. S’approprier un environnement informatique de travail Etre autonome dans l’usage des services et des outils L.1.1. Je sais choisir les services, matériels et logiciels adaptés à mes besoins
    D3. Créer, produire, traiter, exploiter des données Concevoir et publier des documents numériques en choisissant le logiciel, le service ou le matériel adapté
    Exploiter des données ou des documents numériques Modifier un ou plusieurs paramètres, une situation simulée ou modélisée
    L.3.5 Je sais produire une représentation graphique à partir d’un traitement de données numérique
    L.3.6 Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat