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Fonctions

Publié le 19 oct. 2011 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  mercredi 19 octobre 2011

Choisir la bonne formule

Présentation d'une situation mettant en jeu des fonctions affines et de l'algorithmique

  •  

    Une entreprise souhaite louer un véhicule pour certains déplacement de ses employés. La société de location de véhicules propose à ses clients trois types de contrats. Le tableau ci-dessous montre les tarifs en cours

      Forfait (en euros) Supplément au kilomètres (en euros)
    Formule 1 0 0,60
    Formule 2 23 0,40
    Formule 3 50 0,25

     

    1. Déterminer la formule la plus avantageuse pour l’entreprise cliente en fonction du nombre de kilomètres parcourus.
    2. Après négociation, la société de location accepte d’appliquer systématiquement le tarif le plus avantageux. Proposer un algorithme donnant suivant le nombre `x ` de kilomètres parcourus, le nom de la formule appliquée ainsi que le prix à payer. Programmer cet algorithme à l’aide d’un langage de votre choix.

     

    Remarque : la deuxième question ne sera dévoilée que lorsque la première sera traitée.


    Conditions de mise en oeuvre


    Public : Troisième et Seconde, testé en début de seconde.


    Objectifs


    • Mathématiques (extraits du programmes)

    • Mettre un problème en équation.

    • Résoudre une équation se ramenant au premier degré.

    Pour un même problème, combiner résolution graphique et contrôle algébrique. Utiliser, en particulier, les représentations graphiques données sur écran par une calculatrice, un logiciel.

     

    • Informatiques

    • Concevoir un programme, en particulier utiliser des instructions conditionnelles imbriquées. il ne faut pas que ce soit la première rencontre avec les instructions conditionelles.

     
    Quelques étapes du scénario


    1. Déterminer la formule la plus avantageuse pour l'entreprise cliente en fonction du nombre de kilomètres parcouru.

    • Une première phase expérimentale, à la main papier crayon, dans laquelle on choisi quelques valeurs pour le nombre de kilomètres permet de prendre en main la situation, c'est à dire assurer une dévolution correcte du problème pour tous les élèves. Elle crée aussi du milieu pour la modélisation qui en sera frotement faciitée. On pourra partager la classe en quatre et confier à chaque quart de classe des valeurs différentes. Les résultats sont mis en commun et le professeur note au tableau les calculs à faire ainsi que les résultats. On réalise qu'il va falloir faire beaucoup de calculs afin d'obtenir un résultat expérimental.
    • On modélise la situation en s'appuyant sur la phase précédente. En effet les élèves remarquent facilement que l'on refait toujours les mêmes calculs. Pour chacune des formules la modélisation associe au nombre de kilomètres parcouru le prix.
    • Une deuxième phase expérimentale utilise l'expression des fonctions pour les tabler et représenter graphiquement (cf figure ci-dessous). Cette phase, qui croise des informations graphiques et numériques, permet d'établir expérimentalement une réponse à la question. il reste à établir ce résultat en utilisant la théorie disponible, c'est à dire à en faire la démonstration.
    • Les élèves résolvent les équations. c'est à dire : ils démontrent le résultat établi expérimentalement lors de la phase d'expérimentation.

     

    experimentation

    2. Proposer un algorithme donnant suivant le nombre $x$ de kilomètres parcourus, le nom de la formule ainsi que le prix à payer.

    • La première étape consistera à exprimer en fonction de $x$ le tarif. C'est une fonction affine par morceaux.
    • On écrit ensuite l'algorithme en langage naturel.
    • On réalise le programme. Ci-dessous un programme réalisé avec Scilab. L'utilisation de la fonction conditionelle se passe passe plutôt bien. Au final, le truc qui apparait obscur pour les élèves se situe dans la dernière ligne, avec l'utilisation du + pour concaténer et l'utilisation de la commande string pour transformer.

    bonne-formule-algo


    Source


    La situation est inspirée de l'exercice 74 page 65 du Transmath (nathan 2010).


    Liens avec les compétences du B2i


    Attention, les compétences travaillées et les items validables sont donnés à titre indicatif et dépendent beaucoup du scénario envisagé

     

     

    Domaine

    Compétence

    Items

    D1. S’approprier un environnement informatique de travail Etre autonome dans l’usage des services et des outils L.1.1. Je sais choisir les services, matériels et logiciels adaptés à mes besoins
    D3. Créer, produire, traiter, exploiter des données Concevoir et publier des documents numériques en choisissant le logiciel, le service ou le matériel adapté
    Exploiter des données ou des documents numériques Modifier un ou plusieurs paramètres, une situation simulée ou modélisée
    L.3.5 Je sais produire une représentation graphique à partir d’un traitement de données numérique
    L.3.6 Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat