Nombres et calculs

Publié le 19 juin 2015 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  vendredi 19 juin 2015

[UE2014] - Meteor Crater

Calculs de longueurs dans la sphère

  • Meteor Crater

     

     

     

     

    Cette situation fait partie de celles présentées durant l'université d'été du CNES qui s'est déroulée à Toulouse du 11 au 15 juillet 2014.

     

     

     

     

    Présentation de l’activité


     

     

    En s’écrasant sur la Terre, une météorite a creusé le « Meteor crater » de 1300 m de diamètre et de 190 m de profondeur.

     

     

    On se demande s'il est possible de déterminer le diamètre de cette météorite.

     

     

     

     

    Public


     

     

    Cette situation s'adresse à des élèves de 3e ou de lycée.

     

     

     

     

    Objectifs


     

     

    • Calculer une longueur inaccessible.

     

    • Réinvestir des compétences mathématiques dans une situation nouvelle.

     

    • Intéresser les élèves au spatial.

     

     

     

     

    Prérequis


     

     

    Mathématiques

     

    • Calculer des longueurs dans la sphère à l'aide du théorème de Pythagore.

     

    • Développer et réduire un programme de calcul (double distributivité ou identités remarquables).

     

    • Résoudre algébriquement une équation.

     

     

    T.I.C.E.

     

    • Créer une feuille de calculs pour résoudre une équation par essais et erreurs.

     

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

     

    Présentation

     

     

    A l'aide de photos videoprojetées ou de Google Earth, le professeur situera progressivement l'action aux Etats-Unis, dans l'état de l'Arizona, dans une zone désertique.

     

    Crater01b           Crater02b

     

     

     

     Le site du "cratère Barringer" (dit du "Meteor Crater") pourra être présenté à l'aide d'un panorama 360° tel que celui-ci :

     

    Crater03

     

     

    Le professeur questionnera sur l'origine d'un tel cratère avant d'apporter quelques compléments : "Le Meteor Crater se serait formé  il y a environ 50 000 ans à la suite de l'impact d'une météorite."

     

     

    Le problème pourra alors être formulé, par la classe si elle est familière avec le calcul de longueurs inaccessibles : "On se demande s'il est possible de connaître le diamètre (ou le rayon) de cette météorite".

     

     

     

    Temps de recherche

     

     

    En ne donnant aucune information supplémentaire, on incite les élèves à s’interroger sur les données mesurables nécessaires à la résolution du problème. Un tel choix permet une meilleure dévolution de la situation.

     

     

    Ainsi, à la demande, on pourra donner :

     

    - le diamètre du cratère : 1300 m

     

    - la profondeur du cratère* : 190 m

     

    * Il semble toutefois plus facile de mesurer, à l'aide d'un télémètre, la distance AC entre le bord et le fond du cratère : un choix qui revient à l'enseignant et qui permettra de différencier le travail entre les élèves.

     

     

     

    Afin de guider les élèves, on pourra poser ces questions cruciales :

     

    - Quelles sont les techniques disponibles pour déterminer une longueur ?

     

     - Dans quels types de figures peut-on utiliser ces techniques ?

     

     - Peut-on trouver dans la situation de telles figures mettant en jeu la longueur à calculer ?

     

     

    Toutes ces questions montrent la nécessité de modéliser la situation et d’y faire figurer toutes les longueurs mises en jeu.

     

     Crater04

     

     

    Cette modélisation peut apparaître comme grossière (il conviendra de comparer, une fois celui ci établi, le résultat obtenu à celui communément admis par la communauté scientifique). Mais en l'état actuel des connaissances de la classe, il n'est pas possible d'envisager meilleure représentation.

     

     

     

    Bilan intermédiaire

     

     

    Avec la classe, on fera le point sur la modélisation et on questionnera :

     

    - "Quelle technique pour calculer le rayon de la météorite ? Dans quelle configuration ?"

     

    Les élèves ayant déjà effectué des calculs de longueur dans la sphère (cf. prérequis) s'orientent vers le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OAD.

     

    - Peut-on utiliser le théorème de Pythagore dans OAD pour calculer OA ? Pourquoi ?

     

    Mais, ici, la situation demeure problématique car il manque les longueurs de deux côtés.

     

    Le professeur relance alors la recherche :

     

    - "Un élève de seconde a effectué des calculs et a trouvé que le rayon de la météorite était de 800 m. Est-il possible de contrôler son résulat ?"

     

     

     

    Temps de recherche

     

     

    Les élèves disposant à présent de suffisamment de longueurs pour travailler dans le triangle rectangle OAD, on observera différentes stratégies :

     

    - A partir de deux longueurs et à l'aide du théorème de Pythagore, on vérifie la longueur de la troisième.

     

    - A partir des trois longueurs disponibles et à l'aide du théorème de Pythagore (N.D.A. : sa réciproque), on contrôle que le triangle OAD est bien rectangle.

     

     

    Les calculs montrent que ce résultat n'est pas cohérent. On relance alors l'étude :

     

    - "Si le rayon de la météorite n'est pas 800 m, est-ce qu'il est possible de le connaître ? Comment ?"

     

    Si un élève ne s'oriente pas de lui-même vers une stratégie par essais et erreurs, on pourra lui proposer une autre longueur à contrôler.

     

     

    La répétition des mêmes procédures de calcul justifie l'utilisation d'un tableur. On prépare aussi l'utilisation à venir du calcul littéral.

     

    Crater05

     

     

     

    Bilan intermédiaire

     

     

    On revient sur l'utilisation du tableur puis on relance une fois encore le problème :

     

     

    1er cas :si classe est familiarisée avec l'utilisation du calcul littéral.

     

    - "Comment sans tableur, sans tâtonner, aurait-on pu savoir qu'il fallait choisir un valeur pour OA proche de 1207 m pour que OD² + AD² soit égal à OA² ?"

     

    C'est à dire :"Comment établir à l'aide des connaissances disponibles ce résultat obtenu jusqu'alors expérimentalement ?"

     

     

    2e cas : si l'utilisation du calcul littéral a encore besoin d'être motivée.

     

    Afin de faire apparaître le coté fastidieux de la recherche par essais et erreurs au tableur, on proposera aux élèves de reprendre ce même travail avec d'autres cratères, de tailles différentes (cf. prolongements). De là renaîtra la nécessité de disposer d'une technique plus efficace.

     

     

    Dans tous les cas, le tableur aura joué le role de médiateur vers l'utilisation du calcul littéral et aidera à la mise en équation.

     

     

     

    Temps de recherche

     

     

    La classe est amenée à résoudre algébriquement l'équation : ( x - 190 )² + 650² = x² où x représente OA.

     

     

     

     Bilan final

     

     

    On revient avec la classe sur la résolution algébrique de l'équation.

     

    Pour finir, on pourra s'interroger sur la validité du résultat obtenu qu'on comparera à celui qu'on peut trouver sur internet :

     

    - "Le cratère Barringer se serait formé il y a environ 50 000 ans, à la suite de l'impact d'une météorite d'environ 50 mètres de diamètre et d'une masse de 300 000 tonnes."

     

    On pourra ainsi invalider notre modélisation : le souffle de l'impact génère un cratère bien plus grand que la météorite elle même.

     

     

     

     

    Prolongements possibles


     

     

     Voici les diamètres de quelques cratères ainsi que ceux des météorites qui en sont à l'origine.

     

    MTC01

     

     

    On se demande s'il existe un rapport simple entre les diamètres des météorites et ceux des cratères.

     

    A l'aide d'un tableur, on pourra, selon le niveau de la classe, chercher et comparer différentes courbes de tendance.

     

     

     

     

    Documents utiles


     

     

    Diamètres cratères / diamètres météorites` `