Espace et géométrie

Publié le 7 oct. 2015 Modifié le : 25 oct. 2017

Écrire à l'auteur

Le  mercredi 7 octobre 2015

Configurations de Thalès ?

Deux situations pour réaborder la question du parallélisme et découvrir "la réciproque".

  • Figure 1

    (télécharger la figure)

     

     

     

     

    Présentation de l’activité


     

    AMN est un triangle, B un point de [AM] et C un point de [AN].

     

    Il s'agit de calculer la longueur MN.

     

     

     

     

    Public


     

    Cette situation s'adresse à des classes de 3e.

     

     

     

     

    Objectifs


     

    • Conjecturer, expérimenter et démontrer la "réciproque" de la propriété de Thalès.

     

    • Réinvestir ses connaissances en géométrie.

     

     

     

     

    Pré-requis


     

     

    Mathématiques

     

    • Propriété de Thalès (3e) et de Pythagore (4e)

     

     

    T.I.C.E.

     

    • Construction d'une figure à l'aide de Géogébra

     

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

     

    2 ou 3 séances d'une heure seront nécessaires pour réaliser l'ensemble de cette activité.

     

     

     

    1re partie

     

     

    Présentation

     

    Après avoir présenté la figure et le problème on se gardera d'aborder la question du parallélisme.

     

    Si certains élèves mettent rapidement le doigt dessus, on les questionnera :

     

    "Est-ce important que les droites soient parallèles ? Et si elles ne le sont pas ?"

     

    "Peut-on vérifier, avec nos connaissances, si les droites sont parallèles ? Ou pas ?"

     

     

    Temps de recherche

     

    Les élèves croient reconnaître une configuration de Thalès et l'exploitent.

     

    Dans leurs calculs, ils se retrouvent face à des rapports de longueurs différents et dans l'impossibilité d'apporter une réponse au problème.

     

    On relance le travail en faisant émerger l'idée qu'il y a différents résultats dans la classe.

     

    "Comment expliquer, dans la classe, l'existence de résultats différents ?"

     

     

    Bilan intermédiaire

     

    On revient sur les premiers calculs effectués par la classe et on met en avant les différents rapports obtenus et les différents résultats pour MN auxquels ils conduisent.

     

    On met ainsi en évidence l'absence de parallélisme entre (BC) et (MN) et l'impossibilité d'utiliser la propriété de Thalès dans cette configuration.

     

    On relance le travail :

     

    "Est-il malgré tout possible de calculer MN ? Comment ?"

     

     

    Temps de recherche

     

    "De quelles autres techniques dispose-t-on pour calculer des longueurs ?"

     

    "Dans quelles configurations peut-on les utiliser ?"

     

    "Retrouve-t-on ces configurations dans cette figure ? Peut-on le vérifier ?"

     

     

    Bilan final

     

    On reviendra sur la double utilisation de la propriété de Pythagore :

     

    - Connaissant les longueurs de ses trois côtés, montrer qu'un triangle est rectangle.

     

    - Connaissant deux longueurs d'un triangle rectangle, calculer la longueur du troisième.

     

     

     

    2e partie

     

     

    thales02

     

     

    Présentation

     

    Voici une nouvelle figure. On se demande s'il est possible, ici, de calculer MB.

     

     

    Temps de recherche

     

    A l'instar de la situation précédente, les élèves pourront :

     

    - Rechercher un triangle rectangle. Cette piste n'aboutira pas.

     

    - Explorer la piste d'une configuration de Thalès. La question du parallélisme sera alors une de leurs préoccupations.

     

    La classe sera alors amenée à émettre une conjecture dont le contrôle fera l'objet de la dernière partie du problème :

     

    "Lorsque les rapports d'agrandissement AM/AI et AB/AK sont égaux, les droites (MB) et (IK) sont parallèles."

     

     

    Bilan intermédiaire

     

    On revient sur l'existence des rapports égaux et sur le calcul de MB.

     

    Puis, on relance le travail, en s'appuyant sur le fichier Géogébra présenté ci-dessous (sans pour autant donner la réponse au problème) :

     

    "Lorsque les rapports d'agrandissement sont différents, les droites ne peuvent pas être parallèles, car si elles l'étaient les rapports seraient égaux. C'est la propriété de Thalès.

     

    Mais, quand les rapports d'agrandissement sont égaux, les droites sont-elles forcément parallèles ?

     

    Est-ce qu'il ne serait pas possible d'avoir des rapports égaux et des droites non parallèles ?"

     

     

     

    Télécharger le fichier

     

     

    Temps de recherche

     

    Le travail de la classe va alors consister à construire, sur Géogébra, une figure du même type et à l'utiliser pour apporter une réponse au problème.

     

    Durant la construction, on veillera à ce que les droites (ED) et (BC) ne soient pas construites parallèles.

     

    Si certains élèves sont convaincus, à tort, de la véracité de la proposition, on relancera le travail :

     

    "Ne pourrais-tu pas conserver tes deux rapports égaux, mais en faisant en sorte que les droites ne soient plus parallèles ?"

     

     

    Bilan final

     

    On revient sur la construction avec Géogébra d'une figure permettant d'expérimenter autour de la question posée et on apportera la condition supplémentaire pour que la conjecture établie précédemment soit vraie.

     

    On pourra alors institutionnaliser le résultat ou le démontrer, c'est à dire l'établir à l'aide des connaissances disponibles dans la classe.

     

     

     

     

    Documents utiles


     

    Première figure (.jpg)

     

    Seconde figure (.jpg)

     

    • Fichier géogébra (.ggb)