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Publié le 7 oct. 2015 Modifié le : 11 nov. 2018

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Le  mercredi 7 octobre 2015

Comparaison de suites géométriques et arithmétiques

Comparaison de progressions arithmétiques et géométriques, solutions algorithmiques

  • Londres

     

     

     

    Présentation de l'activité


     
     

    Vous devez trouver un logement pour un an à Londres, ville connue pour ses loyers exorbitants : pour un appartement meublé, on paye chaque semaine et il y a des augmentations régulières.

     

    Vous avez le choix entre deux offres :

     

    Offre 1 : loyer initial £460, augmentation de £5 chaque semaine

     

    Offre 2 : loyer initial £450, augmentation de 1 % chaque semaine

     

    Quelle est l'offre la moins chère ?

     

     

     

     

    Public


     

    • Cette situation s'adresse à des élèves de terminale STMG.

     

    • Elle peut aussi être présentée en 1re S ou 1re ES dans une séquence d'introduction aux suites arithmétique et géométrique.

     

     

     

     

    Objectifs


     

    • Comparaison de suites arithmétiques et géométriques.

     

    • Calcul de la somme des n premiers termes d'une suite.

     

    • Mise en œuvre de solutions algorithmiques : en utilisant le tableur ou en programmant la calculatrice.

     

     

     

     

    Extrait du programme de Terminale STMG


     

    Analyse

     

    suites01 

     

     

    Algorithmique

     

    Suite02

     

     

     

     

    Prérequis


     

    Mathématiques

     

    • Appliquer un pourcentage d'augmentation.

     

     

    TICE


    • Tableur, connaissances minimales (formules élémentaires, recopie, somme d'une colonne).

     

    • Algorithmique : l'activité sera grandement facilitée si les élèves sont déjà un peu familiers avec les algorithmes.

     

     

     

     

    Déroulement de l'activité


     

    L'activité est réglée pour que le loyer à progression géométrique soit le plus cher à la fin de l'année, mais si on considère la somme totale payée depuis le début de l'année, il est le plus avantageux.

     

    Cette activité se déroule en trois parties ne nécessitant pas de salle informatique, éventuellement quelques ordinateurs et de préférence un poste professeur que l'on peut projeter. Les calculatrices sont indispensables.

     

    La première partie est le travail d'appropriation du problème. L'enjeu est que la classe trouve que les bonnes quantités à comparer sont les loyers cumulés. Se pose alors la question de comment répondre en pratique. Des essais à la calculatrice sont menés mais le fait de devoir calculer 52 termes est vite décourageant. On projette alors une solution tableur (envoyer un ou plusieurs élèves la faire).

     

    Dans un deuxième temps on leur propose une solution algorithmique pour calculer le terme général d'une suite arithmétique. Ils doivent l'adapter pour obtenir la somme des premiers termes.

     

    Un troisième temps, qu'on peut déléguer en travail à la maison, consiste à adapter le travail fait sur la suite arithmétique à la suite géométrique.

     

    L'implémentation finale est faite sur leur calculatrice : ils disposent ainsi de programmes pour le terme général et la somme des premiers termes pour les deux types de suite.

     

     

    Première partie

     

     

    Les premières questions visent à établir la compréhension du problème et l'identification de ses paramètres :

     

    - Comment calculer le loyer d'une semaine à l'autre ?

     

    - Combien de semaines ?

     

     

    Le fait qu'il y ait 52 semaines dans une année rend difficile les calculs manuels (au sens, répétition de 52 calculs à la calculatrice) et implique des solutions plus astucieuses.

     

    On peut alors envoyer quelques élèves obtenir une solution tableur que l'on projette.

     

    C'est le moment de poser la question : « Qu'a t-on dépensé au bout d'un an ? ».

     

    Les élèves calculent la somme des 52 premiers termes pour conclure que le meilleur choix était la progression géométrique. On peut alors faire remarquer que le tableur ne sera pas disponible le jour du bac (sauf avec la TI NSPIRE) et qu'une autre manière de procéder doit être disponible.

     

     

     

    Deuxième partie

     

     

    On présente aux élèves un algorithme (calcul par récurrence du n-ième terme d'une suite arithmétique) sans que sa finalité soit donnée. On donne aussi l'implémentation sur les deux modèles de calculatrice les plus répandus (TI 82/83 et Casio Graph 35).

     

     

    Variables : u, r, n, i (compteur)

    Initialisation : u, r et n : demandés à l'utilisateur

    Traitement

    Pour i de 1 à n faire :

    u devient u+r

    fin pour

    Afficher u

     

     

    Consignes :

     

    - Analysez cet algorithme, que calcule-t-il ? Comment l'utiliser pour le problème ?

     

    Si les élèves ont déjà un passé en algorithmie, la question est élémentaire. Sinon, on le fait tourner « à la main ». Une difficulté est de savoir si on note u0 le premier terme de la suite, auquel cas on doit calculer jusqu'à u51, ou si on le note u1 et on doit calculer jusqu'à u52.

     

    - Adaptez cet algorithme et programmez-le sur votre calculatrice pour résoudre le problème.

     

     

     

    Troisième partie

     

     

    En classe ou déléguée en travail personnel : adaptation de la deuxième partie à la suite géométrique.

     

    En fin d'activité, les élèves disposent donc de 2 programmes sur leur calculatrice : terme général et somme des premiers termes, pour la suite arithmétique et la suite géométrique, dans le cas où le premier terme est u0. Dans une classe où il est difficile d'obtenir du réel travail en dehors des cours, le fait de créer un programme qui pourra être utile le jour du Bac peut constituer une motivation.

     

     

     

     

    Prolongements possibles


     

    Déterminer en fonction du nombre de semaines quelle offre est la plus avantageuse. Cela peut être l'occasion d'introduire les tests en algorithmie.

     

     

     

     

    Documents utiles


      

    • Fiche élève