Espace et géométrie

Publié le 7 oct. 2015 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  mercredi 7 octobre 2015

Le trophée de Caïus Marius

Retrouver les dimensions d'une pyramide.

  • Le trophée de Caïus Marius

     

     

     

    Présentation de l’activité


     

    En 102 av. J.-C., les légions romaines du général Caïus Marius remportèrent une victoire décisive sur l’armée teutonne, près du village de Pourrières.

     

    En mémoire de ce fait d’armes, un monument fut érigé : le trophée de Caïus Marius. C’était probablement une pyramide régulière à base carrée, bâtie en pierres de taille dont il ne reste aujourd’hui que les fondations et le sommet qui orne une des fontaines du village.

     

    Fondations                     Sommet

     

     

    On se demande s’il serait possible de retrouver la hauteur du trophée de Caïus Marius.

     

     

     

     

    Public


     

     Cette situation s'adresse à des élèves de 3e.

     

     

     

     

    Objectifs


     

    • Calculer des longueurs inaccessibles dans une pyramide.

     

    • Découvrir (ou réinvestir) le rapport de proportionnalité entre les longueurs d'une pyramide et celles de la pyramide obtenue par section de la première par un plan parallèle à sa base.

     

     

     

     

    Prérequis


     

    • Calculer des longueurs à l'aide du théorème de Pythagore.

     

    • Calculer des longueurs à l'aide du théorème de Thalès.

     

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

    Présentation

     

    A l'aide de photos videoprojetées ou de Google Earth, le professeur situera progressivement l'action en France, près d'Aix-en-Provence, à proximité du village de Pourrières (Var).

     

    Il situera historiquement le monument et présentera ses vestiges.

     

     

    tcm06            tcm07

     

     

    Le problème pourra alors être formulé, par la classe si elle est familière avec le calcul de longueurs inaccessibles : "On se demande s'il serait possible de retrouver la hauteur de cette pyramide".

     

     

     

    Temps de recherche

     

     

    En ne donnant aucune information supplémentaire, on incite les élèves à s’interroger sur les longueurs mesurables nécessaires à la résolution du problème. Un tel choix permet une meilleure dévolution de la situation.

     

     

    Ainsi, à la demande, on pourra donner :

     

    - Les fondations forment approximativement un carré de 5,3 m de côté.

     

    - Le "sommet" de la pyramide est une pyramide régulière dont la base est un carré de 1,7 m de côté et les arêtes latérales mesurent 3,7 m.

     

     

    Afin de guider les élèves, on pourra poser ces questions cruciales :

     

    - Quelles sont les techniques disponibles pour déterminer une longueur ?

     

    - Dans quels types de figures peut-on utiliser ces techniques ?

     

    - Peut-on trouver dans la situation de telles figures mettant de plus en jeu la longueur à calculer ?

     

    - Dans ces figures, dispose t-on de toutes les données nécessaires pour utiliser ces techniques ou bien faut-il dans un premier temps calculer d’autres longueurs ?

     

    Toutes ces questions montrent la nécessité de modéliser la situation et d’y faire figurer toutes les longueurs mises en jeu.

     

     

     

    Bilan intermédiaire

     

     

    Un temps de mise en commun sera sans doute nécessaire pour faire le point sur la modélisation du problème et faire apparaître les configurations dans lesquelles on va travailler.

     

    TCM02

     

     

    Bilan final

     

     

    On reviendra sur les différentes stratégies possibles pour répondre au problème :

     

    - Calculer SA à l’aide du théorème de Thalès dans les triangles SAB et SA’B’,

    - Calculer AC puis AP à l’aide du théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B,

    - Calculer SP à l’aide du théorème de Pythagore dans le triangle SPA rectangle en P.

     

    ou

     

    - Calculer A’C’ puis A’P’ à l’aide du théorème de Pythagore dans le triangle A’B’C’ rectangle en B’

    - Calculer SP’ à l’aide du théorème de Pythagore dans le triangle SP’A’ rectangle en P’.

    - Calculer SP à l’aide du théorème de Thalès dans les triangles SAP et SA’P’,

     

     

    La mise en commun des différentes stratégies utilisées par les élèves permet de faire apparaître un rapport de réduction commun entre les longueurs et les hauteurs de SABCD et de SA’B’C’D’.

     

    TCM03

     

    On réexploitera plus tard l'existence de ce rapport dans des situations de calculs de longueurs, d'aires ou de volumes.

     

     

     

    Documents utiles


     

    Énoncé pour les élèves