Espace et géométrie

Publié le 7 oct. 2015 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  mercredi 7 octobre 2015

Triangles rectangles et triplets pythagoriciens

Un problème de construction pour conjecturer et expérimenter la réciproque du théorème de Pythagore.

  • Triangles rectangles

     

     

     

    Présentation de l’activité


     

    On souhaite construire des triangles rectangles dont chaque côté mesure un nombre entier de centimètres.

     

     

     

     

    Public


     

    Cette situation s’adresse à des élèves de 4e.

     

     

     

     

    Objectifs


     

     - Conjecturer, expérimenter et éventuellement démontrer la réciproque du théorème de Pythagore.

     

     

     

     

    Pré-requis


     

     Mathématiques

     

    - Savoir que dans n'importe quel triangle rectangle, la propriété de Pythagore est vérifiée.

     

     

     T.I.C.E.

     

                - Constructions de figures à l’aide d’un logiciel de géométrie.

     

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

     

    Présentation

     

    On demande à la classe, de construire, aux instruments, un maximum de triangles rectangles dont chaque côté mesure un nombre entier de centimètres.

     

     

    Temps de recherche

     

    Par essais et erreurs, les élèves construisent quelques triangles qui semblent satisfaire les conditions demandées. On relance l’étude à l’aide de questions cruciales :

     

    "Ces triangles sont-ils bien rectangles ? Comment s’en assurer ?"

     

    "Chaque côté mesure-t-il bien un nombre entier de centimètres ? Comment le vérifier ?"

     

    A ce moment de l’étude, les seules techniques mobilisables pour contrôler les figures s’appuient sur l’utilisation de l’équerre et de la règle graduée.

     

    "Ces techniques de contrôles sont-elles fiables ?"

     

    "Comment obtenir davantage de précision dans les mesures ?"

     

    On suggère ainsi l’utilisation d’un logiciel de géométrie active qui permet de faire un premier tri dans les figures obtenues.

     

     

    Bilan intermédiaire

     

    On demande à quelques élèves de noter au tableau les dimensions d’un de leur triangle qui leur semble rectangle.

     

     

    tp01

     

     

    En pointant les dimensions d’un triangle qu’on sait, nous professeur, non rectangle, on questionne :

     

    "Sans utiliser d’instrument, sans utiliser de logiciel de géométrie, uniquement à l’aide de vos connaissances, vous auriez pu savoir que de telles dimensions ne peuvent pas être celles d'un triangle rectangle. Comment ?"

     

    On met ainsi en avant que si les dimensions d’un triangle ne vérifient pas la propriété de Pythagore, celui-ci ne peut pas être rectangle.

     

     

    Temps de recherche

     

    Les élèves contrôlent ainsi les autres triangles proposés au tableau, éliminent ceux qui ne vérifient pas la propriété de Pythagore… et conjecturent qu'ils peuvent conserver les autres.

     

    On relance l’étude :

     

    "Lorsque les dimensions d’un triangle vérifient la propriété de Pythagore, est-il vraiment rectangle ?

     

    "Ne serait-il pas possible de construire un triangle qui ne soit pas rectangle et pour lequel la propriété de Pythagore est tout de même vérifiée ?"

     

    Si l’utilisation des instruments permet de se faire une première idée sur quelques cas, l’utilisation d’un logiciel de géométrie active permet d’explorer rapidement, avec plus de précision, davantage de spécimens et de se convaincre de la validité de la conjecture.

     

     

    tp05

     

     

     

     

     

     

    Bilan final

     

    On revient sur la conjecture faite par les élèves et sur une expérimentation possible à l’aide d’un logiciel de géométrie qui permet à chacun de se convaincre.

     

    A ce moment là, on pourra institutionnaliser le résultat où le démontrer, c'est-à-dire chercher à l’obtenir à l’aide des connaissances disponibles.

     

    Toutefois, l’obtention de trois entiers a, b, c tels que a² + b² = c² s’avère toujours problématique.

     

     

     

     

    Prolongement possible


     

     

    "Peut-on obtenir davantage de triangles rectangles dont chaque côté mesure un nombre entier de centimètre ?"

     

    "Peut-on trouver tous ceux qui pourraient être dessinés sur une feuille A4 ?"


     

    L’utilisation d’un tableur permet d’engager les recherches avec une meilleure efficacité qu’un tâtonnement à la calculatrice.

     

     

    tp03

     

     

    Toutefois, le tableur montre ses limites et son utilisation s’avère fastidieuse quand il s’agit d’entreprendre une disjonction des cas portant sur plusieurs variables.

     

    La conception et la programmation d’un algorithme (ici sur le logiciel Scratch) permet d'obtenir rapidement l'ensemble des solutions.

     

     

    tp04