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Thème 1 : Génétique et évolution

Publié le 7 déc. 2022 Modifié le : 12 janv. 2023

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Le  mercredi 7 décembre 2022

Équilibre de Hardy Weinberg et écarts à l’équilibre : proposition de construction d’un modèle par les élèves

Au moyen d’un tableur, on cherche à faire construire aux élèves un modèle qui montre la stabilité des fréquences alléliques dans les conditions de Hardy Weinberg. Le modèle est ensuite confronté au cas de la drépanocytose.

  • Évolution des fréquences alléliques avec avantage aux hétérozygotes

    Niveau

    Terminale spécialité

     

    Compétences (BO)

    Connaissances

    La Terre, la vie et l’organisation du vivant / Génétique et évolution / L’inéluctable évolution des génomes au sein des populations
    Dans les populations eucaryotes à reproduction sexuée, le modèle théorique de Hardy-Weinberg prévoit la stabilité des fréquences relatives des allèles dans une population. Mais, dans les populations réelles, différents facteurs empêchent d’atteindre cet équilibre théorique : l’existence de mutations, le caractère favorable ou défavorable de celles-ci, la taille limitée d’une population (effets de la dérive génétique), les migrations et les préférences sexuelles.

    Capacités

    Observer, questionner, formuler une hypothèse, en déduire ses conséquences testables ou vérifiables, expérimenter, raisonner avec rigueur, modéliser, argumenter.

    Comprendre qu’un effet peut avoir plusieurs causes.
    Utiliser des logiciels d’acquisition, de simulation et de traitement de données.

     

    Description de l’activité

    Prérequis à la construction d’un modèle

    Notation : dans la suite
    N() désigne l’effectif de …
    f() désigne la fréquence de …

    Pour un gène A diallélique présent sous les formes A et a dans une population :

    p=f(A)

    q=f(a)

     

    Méiose : lors de la méiose une cellule diploïde de la lignée germinale se divise pour donner 4 cellules haploïdes

    Une cellule diploïde hétérozygote A//a donnera 2 gamètes (A/) et deux gamètes (a/)

    Une cellule diploïde homozygote (A//A) donnera 4 gamètes de génotype identique (A/)

     

    Fécondation : la fécondation consiste en la fusion de deux gamètes haploïdes. On obtient un zygote diploïde

     

    Définition de fréquence allélique

     

    Fréquence : une fréquence d’un évènement particulier E est le rapport du nombre de fois où E se produit sur le nombre total des évènements s’étant produit.

    Ainsi une fréquence d’un allèle A peut être calculé en effectuant le rapport (nombre d‘allèles A dans la population) / (nombre total d’allèles dans la population)

    On remarquera que si N est l’effectif d’une population d’organismes diploïdes alors le nombre total d’allèle dans la population est 2*N

    Si l’effectif d’une population est très grand alors la fréquence de l’allèle A est égale à la probabilité de tirer au hasard A parmi tous les allèles de la population (notion utile puisque cela permet de calculer la probabilité de réunir deux gamètes au hasard lors de la fécondation…)

     

    Fréquence d’un génotype : on peut définir la fréquence d’un génotype : Nombre d’individu d’un génotype donné/nombre total d’individu.

     

    Par exemple f(A//A) = N(A//A)/N et N=N(A//A)+N(A//a)+N(a//A) óN(A//A)=f(A//A)*N

     

    On remarquera aussi que si la population est très grande alors la fréquence d’un génotype peut être calculée à partir des fréquences alléliques :

    Le génotype (A//A) est réalisé si un chromosome porte A et l’autre chromosome porte A : probabilité p*p

    Comme les fréquences sont équivalente aux probabilité si N très grand : f(A//A)=p*p

    De même on montre que f(A//a) = p(A//a)+p(a//A)óf(A//a)=f(A)*f(a)+f(a)*f(A)óf(A//a)=2pq

    Et f(a//a)=q*q

     

    [On aura reconnu les fréquences à l’équilibre de Hardy Weinberg]

    Principe de construction du modèle :

     

     

    Possibilité de le voir en vidéo :  

    Mode_HardyWeinberg_1.wmv

     Vidéo pour expliquer la création du modèle. A noter : une petite coquille à 25s… la fréquence initiale de a est q0 (et non p0)

     

     Mode_HAardyWeinberg_2.wm

    Vidéo pour expliquer comment modifier le modèle dans le cadre de la sélection naturelle

     

    Explication de la construction du modèle

    On considère les fréquences p et q des allèles d’un gène «A» di alléliques donc q=1-p

    On fixe p0 à la génération zéro

    Astuce didactique : on fixe un effectif N0 à la population (ceci permettra aux élèves de plus facilement calculer des fréquences en passant par le calcul d’effectifs en utilisant les équations reliant f et N )

     

    On calcule les effectifs des différents génotypes à la génération 0 :

    Probabilité d’avoir (A//A) : probabilité d’avoir A sur un chromosome et A sur le chromosome homologue : p*p

    Effectif N(A//A) = fréquence de (A//A) * Effectif de la population

    Comme fréquence (A//A)=probabilité(A//A)

     

    À la génération zéro :

    Effectif N(A//A)=p0*p0*N0

    Effectif N(A//a)=2*p0q0*N0

    Effectif N(a//a)=q0*q0*N0

     

    Méiose : À partir de ces effectifs initiaux de chaque génotype, on peut calculer le nombre de gamète (A/) et (a/) fabriqués lors de la reproduction. On considère que tous les individus ont la même fertilité.

     

    Comme on a vu que lors d’une méiose un individu fabrique 4 gamètes, qu’un homozygote fabrique 4 gamètes identiques et qu’un hétérozygote fabrique 2 gamètes de chaque type.

     

    Donc on peut calculer le nombre de gamètes Ngde chaque génotype

    Ng(A/)=4*N(A//A)+2*N(A//a)

    Ng(a/)=4*N(a//a)+2*N(A//a)

     

    Fécondation : la fécondation consiste en la réunion aléatoire de deux gamètes.

    On peut facilement calculer le nombre total de zygotes formés si tous les gamètes participent à la formation de zygotes : Nz=[Ng(A/)+Ng(a/)]/2

     

    On peut, avec une peu plus de difficultés, calculer les effectifs des zygotes formés de chaque génotype :

    Pour obtenir un zygote (A//A) il faut «piocher» au hasard dans la population de gamètes deux fois un gamète (A/).

    Donc probabilité(Zygote(A//A)=probabilité de piocher un gamète(A/) * probabilité de piocher un gamète(A/)

     

    Si la population de gamète possède un effectif très grand :

    Probabilité de piocher au hasard un gamète (A/)=fréquence du gamète(A/) dans la population de gamètes. (fg désigne ci-dessous la fréquence d’un gamète)

    Or fg (A/)=Ng(A/)/[Ng(A/)+Ng(a/)] et fg (a/)=Ng(a/)/[Ng(A/)+Ng(a/)

     

    Pour obtenir un zygote (A//A) il faut «piocher» au hasard dans la population de gamètes deux fois un gamète (A/). Donc

    probabilité(Zygote(A//A)=probabilité de piocher un gamète(A/) * probabilité de piocher un gamète(A/)

     

    On peut alors calculer les fréquences fzdes zygotes de chaque génotype :

    fz(A//A)=fg(A/)*fg(A/)

    fz(A//a)=fg(A/)* fg(a/)+fg(a/)*fg(A/) (2 évènements permettent de former des zygotes hétérozygotes : gamète1(A/)+gamète2(a/) OU gamète1(A/)+gamète2(a)

    fz(a//a)=fg(a/)*fg(a/)

     

    On peut finalement calculer les effectifs des zygotes formés de chaque génotype :

    Nz(A//A)=fz(A//A)*Nz

    Nz(A//a)=fz(A//a)*Nz

    avec Nz=[Ng(A/)+Ng(a/)]/2

    Nz(a//a)=fz(aa//a)*Nz

     

    On peut ensuite calculer les effectifs des différents génotypes à l’âge « adulte » de la génération suivante :

    Si tous les zygotes donnent des individus en âge de se reproduire alors :

    N(A//A)=Nz(A//A), N(A//A)=Nz(A//a), N(a//A)=Nz(a//a)) la génération n+1

     

    On peut ensuite recalculer pour cette génération les fréquences et effectifs des gamètes, les zygotes produits et donc les effectifs à la génération suivante etc…

     

    On peut pour chaque génération calculer la fréquence de l’allèle p=f(A) dans la population de zygote … : p=[2*Nz(A//A)+Nz(A//a)]/2*Nz

     

    Résultat et remarque

     

    Si l’on fait tout cela dans un tableur et que l’on calcule p à chaque génération de zygote le résultat est assez décevant (et prévisible) : la fréquence p est stable quel que soit p0

     

    On peut le comprendre car :

    -À aucun moment dans les cycles de calcul on ne rajoute ni ne retire d’allèle de l’ensemble de départ (ce qui correspond à l’absence de migration dans les conditions de HW)

    -Le modèle ne permet pas de transférer une partie des effectifs des allèles A vers a et inversement. Autrement dit, aucun allèle A ne peut se transformer en a et inversement : absence de mutation

    -Toutes les conditions en rouge énoncées dans la procédure simulent le fait que tous les individus ont les mêmes chances de se reproduire (panmixie) :

    -Il n’y a aucun retrait aléatoire d’allèle de l’ensemble de départ (dans les populations réelles ceci se produit lors de la dérive si N est petit car alors une fraction aléatoire non négligeable des individus peut ne pas avoir descendant par hasard ce qui biaise les fréquences) => Le modèle ne peut simuler la dérive

    -Tous les génotypes ont la même probabilité de donner des zygotes et tous les zygotes donnent des adultes, quel que soit leur génotype => absence de sélection

     

    Autrement dit notre modèle simule une population respectant les conditions de Hardy Weinberg (et ce quel que soit N car le modèle ne simule pas de fluctuation aléatoire des effectifs autour d’une moyenne _ il n'est donc pas possible de simuler la dérive génétique)

     

    Stimuler une sélection naturelle

     

    On peut facilement modifier le modèle pour faire comprendre comment on peut prévoir ce qu’il se passe dans certaines populations s’écartant de l’équilibre de Hardy Weinberg.

    Certaines maladies autosomiques récessives provoquent une mortalité des homozygotes récessif. Les hétérozygotes sont asymptomatiques.

    On peut introduire dans le modèle un taux de mortalité pour chaque génotype : il suffit de soustraire une proportion des effectifs des zygotes lorsqu’on calcule les effectifs des génotypes « adultes »

     

    Ainsi dans le cas d’une maladie autosomique récessive : N(a//a)=Nz(a//a)-[m*Nz(a//a)]

    Où m est un nombre compris entre 0 et 1 représentant la proportion des individus qui n’accèdent pas à la reproduction (abusivement mortalité)

     

    On peut définir une « mortalité » différente pour les trois génotypes A//A, A//a et a//a ce qui permet de simuler plusieurs cas intéressants :

     

    Désavantage d’un homozygote

    Avantage de l’hétérozygote

     

    Hardy-Weinberg sur tableur 

     

     

     

    mortalité aa 

    La disparition des génotypes (a//a) provoque la diminution de la fréquence de l’allèle a qui tend vers 0

     

     

    drépanocytose Afrique 

     

    Notre modèle fonctionne bien pour les zones grises (fréquence tendant vers zéro) mais comment expliquer les fréquences élevées dans certaines régions d'Afrique ?

     

    correlation drépanocytose plasmodium 

    Corrélation fréquence drépanocytaire / présence de Plasmodium

     

    Tableau mortalité paludisme

     

    L’étude du génotype des victimes du paludisme montre que les hétérozygotes HbS//HbAy sont sous représentés

    Les hétérozygotes sont moins sensibles au parasite du paludisme

     

    Simulation d’un « avantage à l’hétérozygote ».

    Quelle que soit la fréquence de départ, les fréquences alléliques tendent vers 0,5

    allèle létale homozygote

     

     

     

    avantage hétérozygote 

     

    La fréquence de l'allèle a se stabilise pour des valeurs comprises entre 0 et 0,5.

    On peut donc expliquer les valeurs de la fréquence de l’allèle S dans certaines régions d’Afrique par la mortalité des génotypes HbS//HbS (mortalité par drépanocytose) alliée à un avantage des hétérozygotes dans les régions où sévit le paludisme.

     

     

    Ressources

    Dans l'onglet document (en haut de page) : fichier tableur préalablement zippé (le télécharger puis le dézipper)

     

    Deux vidéos au format .wmv (qualité très moyenne due à l’espace de stockage) :


    Mode_HardyWeinberg_1.wmv (création du modèle _ petite coquille à 25s…)

    Mode_HardyWeinberg_2.wmv (modification dans le cadre de la sélection naturelle)


    N.B : la vidéo 1 contient une coquille à la 25eme seconde : la fréquence initiale de l'allèle a est q0 (et non p0)

     

     ATTENTION : la procédure proposée n’est VRAIMENT pas la plus courte ni la plus synthétique mais il s’agit d’une méthode « pas à pas » qui cherche à relier formulation mathématique et étapes de la reproduction sexuée…

    Ces étapes sont très détaillées et on peut avoir parfois l’impression d’enfoncer des portes ouvertes… « tout ça pour ça ».

    On insiste donc sur le fait qu’on ne cherche pas à établir le raisonnement mathématique le plus court et brillant (n’est pas Hardy qui veut). On souhaite plutôt montrer comment on peut passer dans un modèle, de la connaissance de phénomènes au niveau individuel (méiose, fécondation) à une compréhension au niveau populationnel (fréquence alléliques…).

     

     

    Nom de l’auteur et mail

    Lionel Roux
    prénom.nom@ac-aix-marseille.fr