Objectifs

Le projeté orthogonal d'un point sur une droite figurait au programme de seconde jusqu'en 2025. Désormais, il fait partie du programme de première spécialité. Cette activité peut permettre d'introduire cette notion pour l'utiliser dans le cadre du produit scalaire.

Cette activité vise à construire le projeté orthogonal en minimisant la distance entre un point et une droite à la calculatrice graphique. On constate alors que le point trouvé est bien le pied d'une perpendiculaire et on peut alors procéder à la démonstration, reposant sur le simple fait que dans un triangle rectangle, le côté le plus long est l'hypoténuse.

Cette activité met en œuvre :

• Modélisation d'un problème par une fonction (problème de minimisation),
• Utilisation de la calculatrice graphique pour résoudre un problème inaccessible algébriquement,
• Fonction de référence racine carrée, appliquée aux calculs de distance dans un repère orthonormé.

Public visé

Elèves de première spécialité, de préférence en groupe, élèves équipés d'une calculatrice graphique ou a minima ayant accès à un émulateur.

Pré-requis

• Équations réduites de droite
• Formule de distance dans un repère orthonormé
• Utilisation de la calculatrice graphique : il est préférable que les élèves soient déjà familiers avec son maniement, mais cette activité peut être l'occasion d'une initiation.

Scénario

On distribue la figure d'illustration de l'article avec comme objectif : "trouver le point M de la droite le plus proche du point A". Cette figure a été choisie pour que les coordonnées du projeté orthogonal de A sur la droite soient assez simples. Si on veut contextualiser l'activité, on peut par exemple proposer : "la voiture M se déplace sur une route. On souhaite déterminer où elle se trouvera le plus proche de l'antenne-relais située au point A". 

Les consignes sont :

• Le point M est un point mobile de la droite, donc ses coordonnées sont décrites par des lettres (x;y). Exprimer y en fonction de x.
• Calculer alors en fonction de x la distance entre les points M et A. On appellera f(x) cette fonction.
• Lire graphiquement un intervalle pour x dans lequel on va chercher le minimum.
• Utiliser la calculatrice graphique pour trouver le minimum de la fonction.
• Placer ce point sur le graphique, que constatez-vous ?

Selon le degré d'autonomie des élèves avec la calculatrice, on peut donner une aide technique à l'aide d'émulateurs projetables depuis le poste professeur :

• Lien pour les calculatrices NumWorks 
• Lien pour les calculatrices TI

Une fois le point le plus proche placé, les élèves se rendent compte facilement qu'il est au pied de la perpendiculaire à la droite issue du point A. Il est alors assez facile de faire émerger la démonstration.

Le reste de cette ressource consiste à proposer une aide technique pour l'utilisation de la calculatrice graphique, sachant qu'il s'agit ici de trouver le minimum de la fonction f(x)=√( (x-1)²+(x-6)²) pour x ∈[-2;5]

Aide technique, modèle NumWorks

Ce mode d'emploi suppose la mise à jour la plus récente (au jour de la rédaction de l'article, la version 23 du système).

• Menu "grapheur", ajouter un élément, choisir le modèle "fonction", rentrer la formule de la fonction

• Sélectionner "Tracer le graphique". La calculatrice se débrouille pour montrer les zones les plus intéressantes. Si besoin, on peut régler les axes par l'onglet "axes": sélectionner xmin et xmax et laisser y automatique.

• Onglet "Calcul" puis "rechercher" et "minimum"

On lit que le minimum a pour abscisse 3,5, sa distance au point A est environ 3,54.

Aide technique, modèle TI

• Touche "f(x)", rentrer la fonction

• Touche "fenêtre", rentrer les valeurs de XMIN et XMAX (-2 et 5), YMIN et YMAX: c'est plus délicat, on peut s'aider d'une table de valeurs de la fonction ou faire au jugé. Sur l'exemple, on a mis YMIN à 0 (c'est une distance) et YMAX à 6.

• Touche "graphe"

• Touche "Calculs" (2nde+Trace), sélectionner "minimum". La calculatrice vous demande 3 valeurs : Borne gauche (ici -2), Borne droite (ici 5), Valeur initiale (n'importe quelle valeur dans l'intervalle).

On tire les mêmes conclusions que sur la NumWorks, les valeurs sont néanmoins plus approchées.