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Nombres et calculs

Publié le 29 mai 2012 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  mardi 29 mai 2012

Le carreau cassé

Un problème mettant en jeu le cercle circonscrit à un triangle et éventuellement la résolution d'une équation et une identité remarquable.

  • Un segment circulaire dont la corde mesure 104 cm et la hauteur 26 cm.

    Présentation de l’activité


    On souhaite remplacer le carreau cassé au dessus d'une porte d'entrée.

    Comment le vitrier peut-il faire pour construire ce carreau ?

     

    d'après Mathématiques sans frontière 2008

     

    Public


    L’activité proposée peut s’adresser :

    à une classe de 5e (cercle circonscrit à un triangle),

    à une classe de 3e ou de 2de (résolution d'une équation, identités remarquables), éventuellement à une classe de 4e (double distributivité ou utilisation d'un tableur pour la résolution de l'équation).

     

    Objectifs


    Modéliser une situation, expérimenter, élaborer un protocole de construction (ou résoudre une équation).

    Utiliser un logiciel de géométrie dynamique (ou un tableur).

     

    Pré-requis


    Mathématiques

    Suivant la méthode suivie :

    - médiatrices et cercle circonscrit

    - mise en équation, résolution d'une équation, identités remarquables (ou double distributivité)

    T.I.C.E.

    - Construire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique.

    - Utiliser un tableur pour résoudre une équation.

     

    Déroulement de l’activité


    1 er scénario

    Présenter le problème aux élèves, puis, mis en groupes, leur laisser quelques minutes pour se l'approprier. Un croquis sera réalisé.

    Préciser ensuite la commande : dessiner le carreau cassé à une échelle donnée (1/10 par exemple).

    "A-t-on une portion de disque ? Comment le savoir ?" Cette question va permettre d’entamer la résolution car pour y répondre on va mettre en jeu une technique qui orientera les élèves.

    On peut alors fournir une figure géogébra avec l’image du carreau cassé insérée. Il est intéressant de modifier le menu afin de supprimer toute construction de cercle ou d’arc de cercle passant par 3 points. On peut bien sûr faire un choix différent. Mais celui qui est proposé permet d’amener les élèves sur la piste de la recherche du centre par la construction de médiatrices.

    Carreau cassé2

    "Que faut-il connaître pour construire le carreau cassé ?" Le centre du disque dans lequel il est inclus afin de déterminer le rayon du cercle à tracer.

    Retour au papier : trois points stratégiques sont construits. Ils sont sur un même cercle. On peut construire son centre.

    On peut alors donner le programme de construction du vitrier.

    Avec une vitre virtuelle : un rectangle donné dans une figure géogébra représente un morceau de verre. Construire le carreau à l’aide du logiciel.

    2e scénario

    Un problème algébrique.

    Présenter le problème aux élèves, puis, mis en groupes, leur laisser quelques minutes pour se l'approprier. Un croquis sera réalisé.

    Préciser ensuite la commande : dessiner le carreau cassé à une échelle donnée (1/10 par exemple).

    Soit : on repart sur le même scénario en essayant aussi de calculer le rayon du disque.

    Soit : on admet qu’on a une portion de disque en le précisant dans l’énoncé et on cherche à déterminer le rayon.

    On se ramène à l’équation : ( R - 26 )² + 52² = R². On la résout soit algébriquement soit en utilisant un tableur.

     

    Compétences du socle commun de connaissances et de compétences


    Compétence 3

    PRATIQUER UNE DEMARCHE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE. RESOUDRE DES PROBLEMES

    - Rechercher, extraire et organiser l’information utile.

    - Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des consignes.

    - Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer.

    - Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l’aide d’un langage adapté.

    SAVOIR UTILISER  DES CONNAISSANCES  ET DES COMPETENCES MATHEMATIQUES

    - Géométrie : connaître et représenter des figures géométriques et des objets de l’espace. Utiliser leurs propriétés.

    B2I

    CRÉER, PRODUIRE, TRAITER, EXPLOITER DES DONNÉES

    - Je sais créer, modifier une feuille de calcul, insérer une formule.

    - Je sais utiliser un outil de simulation (ou de modélisation) en étant conscient de ses limites.

     

    Documents utiles


    Le fichier géogébra du carreau cassé.