Sur une brocante je vois ce tonneau, il me plaît bien et j'ai l'intention de l'acheter pour le mettre dans mon séjour. Mais pourrais-je le faire passer par la porte d'entrée?

Public: classe de sixième.

Objectifs:

• motiver la recherche du lien entre le diamètre et la longueur d'un cercle. Programme: Connaître et utiliser la formule donnant la longueur d’un cercle.

• faire découvrir par les élèves une situation de proportionnalité pour aussi consolider cette notion.

• expérimenter à l'aide de divers matériels mais aussi à l'aide d'un logiciel de géométrie  dynamique.

• réfléchir au problème des approximations en situation.

Pour un scénario: si on posède un tonneau dans la classe c'est mieux (à condition qu'il ait pu passer par la porte!).

On pose le problème tel quel à la classe.

Par un débat organisé il faut faire émerger les mesures nécessaires à la résolution de la question:

• la largeur de la porte: on la connaît, c'est par exemple 91 cm.

• le diamètre du tonneau: il est inaccessible.

• on ne peut mesurer que la longueur du bouge ( le plus grand cercle), on a trouvé 2,92 m.

Attention: il faut du temps aux élèves pour bien comprendre que l'on vient de mesurer la longueur d'un cercle. Il en faut également pour mettre en évidence que la grandeur pertinente c'est le diamètre du bouge, longueur inaccessible à moins de rentrer dans le tonneau.

Question: quand on connaît la longueur d'un cercle comment peut-on trouver son diamètre?

Une phase d'expérimentation: chaque groupe dispose d'objets cylindriques, de pièces de monnaies, et établissent un protocole expérimental pour mesurer à la fois le diamètre et la longueur du cercle. Il s'agit ensuite d'organiser le relevé des données. Construire un tableau s'avère pertinent pour mieux visualiser l'ensemble des résultats de la classe. Un tableur peut ête mis à la disosition de la classe ou de chaque groupe.

On constate un rapport proche de 3 entre la longueur du cercle et le diamètre.

Une critique sur la précision des mesures conduit à modéliser la situation avec une figure dynamique: un cercle se déroule, on mesure sa longueur. On peut faire varier le diamètre.

Chaque groupe d'élèves peut alors expérimenter et constater des résultats du type: si on double le diamètre, etc. On donne du sens à une proportionnalité qui se précise.

Le relevé des mesures peut se faire à la main avec des calculs à la calculatrice ou au tableur. 

Le lien entre diamètre et longueur du cercle est ainsi établi avec une précision suffisante.

Retour à notre problème: on va alors pouvoir répondre au problème du tonneau.

Un autre scénario:

Si la formule permettant de calculer la longueur d'un cercle en fonction du diamètre ou du rayon est connue, le problème change de nature: modélisation, recherche du nombre, qui multiplié par PI va donner la longueur. Il faut alors veiller à laisser les élèves chercher et à ne pas divulguer trop tôt la modélisation et ainsi ne leur déléguer que quelques calculs.

Attention: il va sans dire qu'un travail de reflexion autour de la mesure du courbe, et particulièrement de la longueur du cercle, à partir d'une mise en évidence de la proportionnalité entre le périmètre de certaines figures et certaines de leurs grandeurs (côté, diagonale, diamètre) peut s'inscrire dans la durée. Il est partie prenante d'un réel parcours d' étude et de recherche qui met en jeu des points très importants du programme de sixième. L'encadrement du cercle dans des polygones réguliers, inscrits et circonscrits, permet une approche riche sur le plan géométrique et très formatrice pour les élèves de la formule.

Liens avec le B2I:

3.4 Différencier une situation simulée ou modélisée d'une situation réelle.

• A 341: je peux distinguer une simulation ou une modélisation de la réalité.

Liens avec le socle: