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Nombres et calculs

Publié le 18 sept. 2013 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  mercredi 18 septembre 2013

Quadrature du rectangle

Expérimenter puis démontrer la technique d'Euclide

  • La figure

     

    Présentation de l’activité

     

    Réaliser la « quadrature d’une figure » consiste à construire un carré ayant la même aire que la figure donnée.

    Dans Les Eléments, livre 2, proposition XIV, Euclide (300 av JC) propose un programme de construction pour réaliser la quadrature d’un rectangle, c'est-à-dire pour construire un carré dont l’aire est égale à celle d’un rectangle donné.

     

     

    - ABCD est un rectangle tel AB est supérieur à BC.

    - Sur la demi-droite [AB) placer le point M tel que BM = BC, en prolongeant le segment [AB].

    - Appeler O le milieu de [AM], puis tracer un demi-cercle de centre O passant par A.

    - La droite (BC) coupe le demi-cercle tracé en un point H.

    - Le carré BHGF a la même aire que le rectangle ABCD.

     

     

    Le but du problème est de contrôler la méthode d'Euclide.

     

     

     

    Public

     

    La situation pourra être proposée à une classe de 3e ou de 2de.

     

     

     

    Objectifs

     

    • Effectuer des calculs de longueurs dans une configuration complexe

    • Utiliser le calcul littéral pour démontrer une propriété.

     

     

     

    Pré-requis

     

    Mathématiques

    - Propriété de Pythagore

    - Racines carrées

     

    T.I.C.E.

    - Constructions de figure à l'aide de Géogébra

     

     

     

    Déroulement de l’activité

     

    • Découverte du problème

     

    Dans un premier temps, pour justifier la nécessité de recourir à la technique d'Euclide, on introduira la question de la quadrature d'un rectangle dans une situation non problématique :

    - Construire un rectangle de largeur 4 cm et de longueur 9 cm.

    - Construire un carré de même aire.

     

    On enchainera par un 2nd spécimen qui fera alors apparaître le problème de construction :

    - Construire un rectangle de largeur 3 cm et de longueur 7 cm.

    - Construire un carré de même aire.

    L'utilisation de la calculatrice permet d'obtenir une valeur approchée de `\sqrt{21}` et de construire un carré. Dans toute la suite du problème, on cherchera à effectuer les constructions, sans utilisation de la calculatrice. C'est à ce moment là qu'on présentera la technique d'Euclide.

     

     

    • Prise en main de la technique d'Euclide

     

    On réalisera la construction avec le précédent spécimen et on cherchera à s'assurer de sa validité. La mesure des côtés du carré à la règle permet d'avoir une valeur approchée de son aire mais pas de conclure. On recourra donc à des calculs pour s'assurer que le carré construit a bien une aire de 21 cm².

     

    On pourra ensuite demander, à l'aide de la technique d'Euclide, la construction d'un carré d'aire 30 cm² et de contrôler la construction.

     

     

    • Résoudre le problème

     

    Pour se convaincre que la technique d'Euclide fonctionne pour n'importe quel rectangle, pour tous les rectangles, on pourra dans un premier temps faire réaliser une construction sur Géogébra.

     

     

     

     

    L'utilisation du calcul littéral permettra ensuite de démontrer ce résultat.

     

    `AB = a`

    `BC = b`

    `OH = OA = \frac{1}{2} AM = \frac{a+b}{2}`

    `OB = OM - BM = \frac{a+b}{2} - b = frac{a-b}{2}`

    `HB^{2} = OH^{2} - OB^{2} = [\frac{a+b}{2}]^{2} - [\frac{a-b}{2}]^{2} = \frac{a^{2} + b^{2} + 2ab}{4} - \frac{a^{2} + b^{2} - 2ab}{4} = \frac{4ab}{4} = ab`

    `Aire BEGH = HB^{2} = ab`

     

     

     

    Prolongement possible

     

    Plus tard dans l'année, en devoir à la maison ou en évaluation en classe, on pourra demander de contrôler la méthode suivante, permettant de construire à la règle et au compas, un segment de longueur `\sqrt{a}`.

     

    Placer 3 points A, B, C, alignés dans cet ordre, tels que AB = a et BC = 1.

    Placer D le milieu de [AC].Tracer le cercle de centre D passant par A.

    Tracer la perpendiculaire à [AC] passant par B.

    Appeler E une intersection de cette perpendiculaire et du cercle.

    Le segment BE ainsi obtenu a une longueur égale à `\sqrt{a}`.

    		 racinea

     

     

     

    Documents utiles

     

    - Enoncé pour les élèves

    - Exemple de construction à l'aide de Géogébra