Les Sangaku sont des problèmes géométriques japonais mettant en jeu des figures esthétiques (cercles, polygones réguliers, ellipses, sphères...) et qui ont été gravés sur des tablettes de bois à partir du XIVe siècle.
Présentation de l’activité
Sur cette figure, les deux cercles de rayon a et b sont tangents entre eux et tangents à la droite (AB).
Voici un programme de construction permettant de construire une telle figure.
Tracer une droite (d).
Placer A et B sur cette droite de telle sorte que `AB = 2\sqrt{ab}`.
Tracer la perpendiculaire à (d) passant par A et y placer C de telle sorte que AC = a.
Tracer la perpendiculaire à (d) passant par B et y placer D (du même coté de (AB) que C) de telle sorte que BD = b.
Tracer le cercle de centre C et de rayon a puis le cercle de centre D et de rayon b.
Le but du problème est de contrôler la validité de cette technique.
Public
L’activité proposée peut s’adresser à une classe de 3e.
Objectifs
Pratiquer le calcul littéral
Utiliser un logiciel de géométrie dynamique (ou un tableur).
Pré-requis
Mathématiques
• Propriété de Pythagore
• Calcul littéral : développement, factorisation, réduction
• Racines carrées
T.I.C.E.
• Construire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique.
Déroulement de l’activité
Découverte du problème
A l'aide des instruments usuels, on souhaite redessiner cette figure aux vraies dimensions.
Cette première construction sera l'occasion de revenir sur la construction d'un cercle tangent à une droite et d'évoquer la tangence de deux cercles.
Lors de la construction, le problème de la position relative des points A, B, C et D va se poser.
Par tâtonnement, les élèves arrivent à produire une figure acceptable. Une construction sur Géogébra (le zoom permet de mettre en défaut les points de tangence) et l'écriture d'un programme de construction demeurera une tâche problématique.
A ce moment des recherches, on fera le choix de ne pas guider les élèves et en particulier vers une construction purement géométrique (qu'on pourra proposer en prolongement du problème). Ce sont leurs errements qui justifieront la nécessité de recourir au programme de construction.
Prise en main du programme de construction et premier contrôle
On présente le programme de construction et on l'exécute sur papier et sur Géogébra (en s'aidant de la grille et du repérage pour placer plus rapidement les points A, B, C et D). En zommant, on se convaint visuellement de la tangence des deux cercles.
Lors d'un moment de synthèse, on se demandera ensuite s'il serait possible de contrôler la tangence des deux cercles en ne s'appuyant plus sur Géogébra, mais sur les connaissances mathématiques disponibles.
Il faudra alors amener les élèves à préciser les conditions pour que deux cercles soient tangents (extérieurement). On pourra s'appuyer sur ce fichier géogébra pour faire émerger que les deux cercles sont tangents (extérieurement) en E si CD = CE + ED.
On cherchera donc à vérfier que CD = 2 cm + 4,5 cm = 6,5 cm.
On laissera quelques intants aux élèves pour découvrir la configuration permettant le calcul de cette longueur : le triangle rectangle CDE.
Résoudre le problème
On cherchera enfin à savoir si le programme de construction donne toujours 2 cercles tangents quels que soient les rayons a et b choisis.
La construction d'une figure Géogébra, à l'aide de curseurs, permet de se concaincre de ce résulat.
L'utilisation du calcul littéral permet de démontrer le résultat.
`CE = 2 \sqrt{ab}`
`DE = b - a`
`CD^{2} = CE^{2} + DE^{2} = ( 2 \sqrt{ab} )^{2} + ( b - a )^{2} = 4ab + b^{2} + a^{2} - 2ab = a^{2} + b^{2} + 2ab = ( a + b )^{2}`
`donc` `CD = a + b`
Prolongement possible
On pourra guider les élèves vers une construction purement géométrique. On sera alors amené à réinvestir des connaissances de 4e sur la construction d'un cercle tangent à une droite et sur la distance d'un point à une droite.
• tracer une droite (d) et construire un cercle de centre C, de rayon a, tangent à (d) en un point A.
Se posera alors la question de la position du point D.
Où placer D pour qu'il puisse être le centre d'un cercle de rayon b, tangent au premier cercle et à la droite (d) ?
A quelle distance de C placer D ? A quelle distance de (d) placer D ?
• construire un point D tel que :
- CD = a + b ( D sur le cercle de centre C et de rayon a + b )
- la distance de D à la droite (d) soit égale à b ( D sur une parallèle à (d) )
Documents utiles
• Sangaku, le mystère des énigmes géométriques japonaises (Géry Huvent)
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