Les organisateurs du Tour de France classent chaque année les différentes ascensions du parcours selon leurs difficultés. Les plus difficiles sont classées "hors catégorie", les autres en 1^re, 2^e, 3^e ou 4^e catégorie pour les plus faciles.

Extraits de discussions sur des forums :

A chaque Tour de France, la même question revient : comment les organisateurs déterminent-ils la difficulté d'un col ?

Invariablement, le même type de réponse : elle dépend de sa pente, de sa longueur, de sa distance au point de départ de l'étape.

On raconte que lors des premières éditions du Tour de France la classification des ascensions s'est faite ainsi : en conduisant une voiture à transmission manuelle, le rapport de vitesse le plus élevé avec lequel on réussissait à atteindre le sommet correspondait à sa catégorie. Et si la voiture ne parvenait jamais au sommet, alors elle était classée "hors catégorie".

Public

Ces problèmes se destinent à des classes de 4^e ou de 3^e mais peuvent être adaptés à des classes de  5^e ou de 6^e en jouant sur certaines variables. On peut également proposer certains d'entre eux à des classes de 2^de en axant leurs résolutions vers l'algorithmique.

Pré-requis

Mathématiques

• Exécuter un programme de calculs

• Propriété de Pythagore (facultatif)

• Trigonométrie (facultatif)

TICE (tableur)

• Entrer des formules

• Trier des données

Il sera sans doute nécessaire de définir avec la classe la notion de "pente" : le rapport entre la distance verticale (le dénivelé) et la distance horizontale ; la tangente de l'angle formé par la route et l'horizontale.

Problème 1

Un site internet propose un programme de calcul permettant de déterminer approximativement la catégorie d'un col. En effet, la véritable méthode ne semble se trouver ni sur Internet ni dans les revues de cyclisme.

Méthode dite de la "cotation au carré de la pente moyenne" :

Indice de difficulté = pente² × distance (km)      (arrondir le résultat à l'unité)

Voici la liste des 64 ascensions du Tour de France 2013.

Le problème est de contrôler la validité de la méthode de "la cotation au carré".

NB : dans cette feuille de calculs, la "distance" (colonne D) est la "distance sur route" mais selon le niveau, elle pourra être donnée comme la "distance horizontale" (les erreurs commises n'excèdent alors pas 0,4 %).

Exemple de feuille de calculs pouvant être réalisée par des élèves (attention aux unités !) :

Dans un premier temps, les élèves attribuent les catégories des ascensions "à la main". On pourra leur montrer qu'un tri de l'ensemble de la feuille de calculs selon les valeurs de la colonne L permet d'accélérer le travail.

Dans un second temps et selon le niveau de la classe, on pourra montrer comment automatiser l'attribution de la catégorie et la comparaison à la catégorie initiale :

Télécharger le fichier

Enfin, le programme de calcul 100*SOMME(N2:N65)/64 permet de déterminer le pourcentage de corrélation entre les catégories fixées par les organisateurs et celles données par la méthode de la "cotation au carré". On obtient un résulat de 91 %.

Problème 2

Un autre site a développé un 2^e indice :

Indice de difficulté = 400H/D + H²/D + D/1000 + (T-1000)/100      (arrondir le résultat à l'unité)

( H = dénivelé (m) ; D = distance (m) ; T = altitude au sommet (m) )

Le problème est de définir, avec ce nouvel indice, un barême, offrant la meilleure corrélation avec les cotations proposées par les organisateurs du Tour de France.

Au final, il est possible de proposer un barême offrant une corrélation de 94 % avec les catégories définies par les organisateurs.

Problème 3

1) A l'aide des indices rencontrés dans les problèmes précédents, on pourra d'abord contrôler que l'appellation de col "le plus dur d'Europe" est justifiée.

2) On pourra ensuite chercher à représenter une pente de 45 %. Parmi ces quatre représentations, laquelle correspond selon vous à une telle pente ?

On pourra ainsi faire constater qu'une pente de 45 % ne forme pas un angle de 45° avec l'horizontale mais seulement de 24°.

Prologement possible

• Vérifier que si, pour une ascension réelle, on confond "distance sur route" et "distance horizontale", l'erreur commise dans le calcul de la pente est très faible.

• En utilisant les techniques précédentes, rechercher le col le plus difficile de France (notion finalement très relative car, entre autre, le point de départ de l'ascension peut être fixé arbitrairement... et pourquoi pas au niveau de la mer).

• Fabriquer un algorithme donnant la catégorie d'un col :

Exemple permettant de travailler les tests successifs et éventuellement les fonctions à plusieurs variables :

Entrées :

alt_depart (en m) , alt_sommet (en m), dist_route (en km)

Traitement :

deniv = ( alt_sommet - alt_depart ) / 1000

dist_hor = sqrt( dist_route² - deniv² )

pente = deniv / dist_hor

indice = floor( pente² × distance sur route )

Si indice  ≤ 34 alors : cat = non classé

Si 35 ≤ indice ≤ 79 alors : cat = 4

Si 80 ≤ indice ≤ 179 alors : cat = 3

Si 180 ≤ indice ≤ 299 alors : cat = 2

Si 300 ≤ indice ≤ 599 alors : cat = 1

Si indice ≥ 600 alors : cat = HC

Sortie :

Afficher : cat

Documents utiles

• Les ascensions du Tour de France 2013

• Résolution du "problème 1" au tableur