Présentation de l’activité

Il fait nuit. Victor et Louise sont à bord de leur bateau au large de l’Île d’Ouessant et souhaitent connaître leur position.

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Public

 Ce problème peut être proposé à partir de la classe de 3^e.

Objectifs

• Modéliser une situation, expérimenter, élaborer un protocole de construction.

• Utiliser un logiciel de géométrie dynamique.

Pré-requis

Mathématiques

• Caractérisation des points d'un cercle de diamètre donné par la propriété de l'angle droit.

• Relation entre un angle inscrit et un angle au centre qui interceptent le même arc.

T.I.C.E.

• Construction de figures à l'aide de Géogébra : segment, milieu, cercle, arc, angle de mesure donnée...

Déroulement de l’activité

Les éléments de scénario que nous vous proposons ont pour objectif de laisser la classe prendre un maximum d'initiatives. Ils peuvent être adaptés.

Dans l’énoncé certaines informations n’apparaissent pas : on incite ainsi les élèves à s’interroger sur les données nécessaires à la résolution du problème. On les communiquera au fur et à mesure qu'elles seront demandées. De tels choix permettent une meilleure dévolution de la situation.

Il sera sans doute profitable de faire travailler les élèves en groupes. On fera en sorte que les groupes avancent à peu près à la même vitesse dans la résolution du problème. On pourra, pour cela, mener de temps en temps de brefs temps de mises en commun qui orienteront les groupes dans la même direction.

Présentation

On se contentera d'exposer la situation telle qu'elle est décrite dans l'énoncé. On distribuera la carte marine. Le but du problème est de situer précisemment la position du bateau sur la carte.

Recherche d'une stratégie pour déterminer la position

Voici quelques questions qui peuvent être posées par les élèves et des éléments de réponses qu'on peut leur donner :

• "De quels instruments dispose t-on a bord du bateau ?"

Carte marine, sextant, instruments de géométrie (règle, rapporteur, compas, crayon), pas de GPS, pas de téléphone, pas de boussole.

• "A quoi sert un sextant ?"

Par visée, le sextant peut servir à mesurer l'angle formé par un repère A, le bateau et un repère B.

• "Quels sont les repères visibles, de nuit ?"

Les feux de 3 phares : la Jument, Nividic et Créac'h (le signal lumineux émis par un phare a des caractéristiques spécifiques qui permettent aux marins de l'identifier).

Première mesure au sextant

• "Au sextant, quel angle mesure t'on si on vise les phares de... ?"

Afin que la classe avance dans la même direction, on pourra influencer le choix des deux premiers phares visés : la Jument et Nividic. On mesure un angle 90° (un choix qui permet de réinvestir la caractérisation du cercle et qui offre une entrée plus facile dans le problème ; selon le niveau, une autre mesure peut être choisie).

Dans un premier temps, la construction peut se faire point à point, en tâtonnant au rapporteur ou à l'équerre. On mettra en évidence qu'il existe plusieurs points de la carte desquels on voit les deux phares sous un tel angle. Mettre des gabarits d'angles droits à disposition des élèves ne dispostant pas d'équerre permet d'accélérer les recherches.

Lorsque les élèves seront convaincus que les points ainsi obtenus sont sur un cercle et chercheront peut être à le tracer au compas, on posera la question de la position de son centre. On revient ainsi sur la propriété étudiée en 4^e.

Une évidence s'impose alors aux élèves : une mesure d'angle ne suffit pas à positionner le bateau.

Seconde mesure au sextant

• "Au sextant, quel angle mesure t'on si on vise à présent les phares de... ?"

Là encore on pourra influancer le choix des phares visés : Nividic et Créac'h. On mesure un angle 50°. (on peut malgré tout donner, s'il est demandé, l'angle formé par la Jument, le bateau et Créac'h : 140°)

Les élèves pourront fabriquer des gabarits d'angles de 50° et en procédant point à point mettre en évidence les deux arcs de cercle.

Construction des arcs de cercle

Pour tracer les deux arcs de cercle au compas, les élèves cherchent les positons de leurs centres en tâtonnant.

On pourra les amener à considérer les angles inscrits de 50° et à chercher les centres des arcs de cercle en construisant les angles au centre de 100°.

Utilisation de Géogébra pour mettre à l'épreuve la technique de construction

Réaliser la construction sur Géogébra interdit le tâtonnement et impose aux élèves de s'interroger une fois encore sur les différentes techniques de construction du cercle et des arcs de cercles mis en jeu dans le problème.

Au cours d'un moment de synthèse, on pourra montrer comment varie le lieu des points depuis lesquels on voit deux autres points sous un angle donné.

 Documents utiles

• Vue d'ensemble de l'île d'Ouessant et de ses phares

• Carte marine

• Fichier Géogébra