Espace et géométrie

Publié le 7 oct. 2013 Modifié le : 25 oct. 2017

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Le  lundi 7 octobre 2013

Mesurer des longueurs inaccessibles

Méthodes d'arpentage du XVIIIe siècle et constructions de triangles

  • Arpenter avec le demi cercle

     

    Alain Manesson Mallet était un ingénieur militaire, géographe et cartographe français de la seconde moitié du XVIIe siècle.

     

    Le 2e tome de la Géométrie pratique, l'un de ses ouvrages, détaille différentes techniques d'arpentage, qui peuvent être présentées à des collégiens pour donner du sens à la construction de triangles.

     

     

     

    Présentation de l’activité


     

    Méthode de mesurer, avec le demi-cercle,

    la distance des lieux inaccessibles entre-eux, et d'ailleurs accessibles.

     

     

    Tr01

     

     

    Tr02

     

     

     

    Le problème est de comprendre la technique utilisée par Manesson Mallet pour déterminer la distance AC et de contrôler son résultat.

     

     

     

    Public


     

     La situation peut être présentées à des classes de 5e.

     

     

     

    Objectifs


     

    - Résoudre un problème historique.

    - Modéliser une situation.

    - Donner du sens à la construction de triangles.

    - Prendre en main un logiciel de géométrie.

     

     

     

    Pré-requis


     

    Mathématiques

     - Savoir construire un angle de mesure donnée.

     

    T.I.C.E.

     - Aucun.

     

     

     

    Déroulement de l’activité


     

    Version originale

     

     - Présenter la gravure et instaurer le débat.

    Que voit-on ?

    Que cherche à faire le géomètre ?

    Quelles mesures fait-il ?

     

    - On précisera alors le fonctionnement d'un demi-cercle.

     

    - Distribuer la "règle" de Manesson Mallet et laisser du temps à chacun pour lire le texte et comprendre la technique de mesure.

     

    - Faire le point avec la classe en précisant le sens des mots non connus. Revenir sur les unités mises en jeu (en 1702 le mètre n'existe pas).

     

    - Demander aux élèves de réaliser la construction et de contrôler la mesure de AC.

     

    - Au cours d'un moment de synthèse, on pourra revenir sur la construction d'un angle au rapporteur. Afin que la classe puisse par la suite prendre en main Géogébra, on pourra montrer au video projecteur la construction de ce triangle et ainsi contrôler à nouveau la mesure de AC et la qualité de la construction aux instruments.

     

    - Afin d'exercer la classe aux utilisations du rapporteur et de Géogebra, on pourra entreprendre un travail similaire sur cette 2e gravure :

    Déterminer la longueur ML.

    Construire ce triangle sur Géogébra afin de contrôler la qualité du résultat obtenu aux instruments.

     

     

    Version simplifiée

     

    Voici une version simplifiée du problème qu'on présentera selon un scénario identique mais dans laquelle on supprime toute référence "à l'échelle D". Le choix de l'unité utilisée pour la réduction se portera alors natutellement vers le mm.

     

    Mallet1b

     

    zoom

    PROBLEME. Connaître la distance de la porte A à celle de C, inaccessibles de l’une à l’autre, mais accessibles de la station B.

     

    REGLE. On posera sur le terrain au point B, le demi cercle pour connaître l’angle ABC. Pour cela, on tournera le demi cercle de telle sorte qu’en borneyant par les deux pinules de son diamètre, on voit la porte A, et qu’en tournant l’alhidade, on découvre la porte du château C. Le nombre de degrés interceptés entre le diamètre et l’alhidade donnera la valeur de l’angle ABC, qui fera 102°.

     

    Puis, on mesurera sur le terrain, la distance BA qu’on trouvera de 53 toises et la distance BC de 50 toises.

     

    Après cette pratique, on tracera où l’on voudra une ligne comme EF qu’on limitera à 53 parties pour égaler le nombre de 53 toises du côté BA.

     

    Puis au point E, on fera avec un rapporteur l’angle FEG de 102° conforme à celui du terrain ABC et on limitera la ligne EG à 50 parties pour égaler les 50 toises du côté BC.

     

    De sorte que si on mesure la longueur GF, on trouvera qu’elle fera 80 parties, conformément aux 80 toises qu’il y a donc de la porte de la ville A à celle du château C.

     

     

    D'après La géométrie pratique - tome 2

    Allain Manesson-Mallet (1702)

     

     

     

     

    Prolongement possible


     

     

     • Méthode de mesurer, avec le demi-cercle, la distance de deux lieux inaccessibles de l'un à l'autre, mais à l'un desquels on peut aller.

     

    (Construction d'un triangle connaissant la longueur d'un côté et la mesure des deux angles adjacents)

     

    Gravure originale Gravure modifiée

    Tr05

     

    zoom

    Mallet1a

     

    zoom

     

    En travaillant avec la "gravure modifiée", le but du problème est dans un premier temps de décrire la technique utilisée par le géomètre pour déterminer la distance AB et dans un deuxième temps, en donnant aux élèves les mesures réalisées sur le terrain, de déterminer la distance AB. Les constructions se feront sur la papier et pourront être contrôlées ensuite avec Géogébra.

     

     

     

      • Méthode de mesurer, avec le demi-cercle, la distance de deux lieux inaccessibles de toutes parts.

     

     (Construction de deux triangles connaissant la longueur d'un côté commun et la mesure des quatre angles adjacents)

     

     Tr06

     

    zoom

     

    Le but du problème est d'utiliser les mesures réalisées par le géomètre pour déterminer la distance AB. Là encore les constructions se feront d'abord aux instruments puis sur Géogébra.

     

     

     

      • Méthode de faire des cartes de géographie avec le demi-cercle.

     

     (Construction de 7 triangles connaissant la longueur d'un côté commun à tous et la mesure des 14 angles adjacents)

     

    Tr07

     

    zoom

    Tr08

     

    zoom

     

     Le but du problème est de réaliser la carte à partir des mesures qui ont été faites sur le terrain.

     

     

     

    Documents utiles


     

     

     • La Géométrie pratique, Allain Manesson-Mallet (books.google.fr)

     

    Tome 1 (notions de géométrie)

    Tome 2 (la trigonométrie)

    Tome 3 (les superficies)

    Tome 4 (les volumes)

     

      • Gravure 1 (distance des lieux inaccessibles entre-eux, et d'ailleurs accessibles)

     

      • Règle 1 (distance des lieux inaccessibles entre-eux, et d'ailleurs accessibles)

     

      • Gravure 1 simplifiée (distance des lieux inaccessibles entre-eux, et d'ailleurs accessibles)

     

      • Règle 1 simplifiée (distance des lieux inaccessibles entre-eux, et d'ailleurs accessibles) 

     

     • Gravure 2 simplifiée (distance des lieux inaccessibles entre-eux, et d'ailleurs accessibles)

     

     • Gravure 3 (distance de deux lieux inacessibles de l'un à l'autre, mais à l'un desquels on peut aller)

     

     • Gravure 3 modifée (distance de deux lieux inacessibles de l'un à l'autre, mais à l'un desquels on peut aller)

     

     • Gravure 4 (distance de deux lieux inacessibles de toutes parts)

     

     • Gravure 5 modifiée (carte de géographie)

     

     • Règle 5 (carte de géographie)

     

    • Gravure 5 modifiée - Fichier Géogébra (carte de géographie)