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OGD, fonctions

Publié le Nov 10, 2013 Modifié le : Oct 25, 2017

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Le  Sunday, November 10, 2013

Un compteur défectueux ?

Comprendre un phénomène étrange autour de la grandeur "vitesse".

  • Compteur

     

    Présentation de l’activité

     

    Victor et Louise ont effectué ensemble les 5 km de l’ascension d’un col à vélo avant de redescendre aussitôt par la même route.

     

     

    Ils ont relevé les vitesses moyennes données par leurs compteurs :

     

    • Vitesse moyenne de montée : 10 km/h

     

    • Vitesse moyenne de descente : 30 km/h

     

     

    Sur l'ensemble du parcours, leurs compteurs affichent une vitesse moyenne de... 15 km/h.

     

    Ils s'interrogent sur la fiabilité de leurs instruments.

     

     

    Le but du problème est de contrôler la vitesse moyenne aller-retour donnée par le compteur.

     

     

     

    Public

     

     Ce problème peut être proposé à partir de la classe de 4e.

     

     

     

    Objectifs

     

    • Entretenir les savoir faire relatifs à la proportionnalité

     

    • Déconstruire une idée reçue : la vitesse moyenne sur un trajet aller-retour n'est pas toujours la moyenne de la vitesse moyenne aller et de la vitesse moyenne retour.

     

     

     

    Pré-requis

     

    Mathématiques

     

    • Déterminer une quatrième proportionnelle (procédures étudiées en 6e et 5e).

     

    • Avoir déjà travaillé sur quelques situations autour des grandeurs "durée", "distance" et "vitesse".

     

    T.I.C.E.

     

     • Insérer une formule dans une feuille de calcul.

     

     

     

    Déroulement de l’activité

     

    Temps de présentation

     

    Durant la phase de présentation à la classe, on scénarisera la situation, en s’appuayant sur un diaporama :

     

    "Victor et Louise effectuent ensemble l’ascension d’un col de 5 km.

    Arrivé au sommet, Victor note la vitesse moyenne de montée donnée par son compteur : 10 km/h. Puis, il le réinitialise.

    Ils redescendent aussitôt, toujours ensemble, par la même route.

    Arrivé au pied du col, Victor relève la vitesse moyenne de descente : 30 km/h

    Louise, qui n’avait pas réinitisalisé son compteur au sommet, regarde sur son compteur la vitese moyenne de l’aller retour… »

     

    On laissera alors quelques secondes à la classe pour deviner la vitesse affichée par le compteur de Louise… et justifier brièvement la réponse

      

    On observera alors que la très grande majorité donnent une vitesse moyenne aller-retour de 20 km/h car ( 10 + 30 ) : 2 = 20

     

    Certains donneront une vitesse moyenne de 40 km/h car 10 + 30 = 40. On pourra débattre de l’absurdité d’une telle réponse.

     

    C’est alors qu’on donnera la vitesse affichée par le compteur de Louise : 15 km/h.

     

    Le but du problème sera alors de contrôler ce résultat. On distribuera les énoncés et on mettre les élèves en situation de recherche.

     

     

    Temps de recherche

     

    On pourra faire travailler les élèves en groupes.

     

    Après quelques minutes de recherche en autonomie, on pourra aider les groupes qui n'auraient pas démarré en leur demandant de faire le point sur les grandeurs disponibles dans l’énoncé et sur les grandeurs manquantes qu'on pourrait peut être calculer.

     

      Distance Durée Vitesse
    Montée 5 km   10 km/h
    Descente 5 km   30 km/h
    Aller-retour     15 km/h *

     

    * Cette grandeur pourra selon les groupes être considérée ou pas comme une donnée de l'énoncé.

     

     

    Ainsi, les élèves prendront l’initiative de calculer les grandeurs manquantes

     

    Selon les techniques disponibles dans la classe on observera :

     

    • Une utilisation de la règle de trois : "10 km en 1 heure donc 5 km en 30 min"

    • Un raisonnement mettant en jeu des grandeurs inversement proportionnelles : "A une vitesse de 10 km/h il m'a fallu 30 min pour faire le trajet, en roulant 3 fois plus vite, il me faudra 3 fois moins de temps, soit 10 min."

    • La construction de tableaux de proportionnalité mettant en jeu "distances et durées" qui seront complétés selon les techniques disponibles : propriété de linéarité, recherche d'un coefficient de proportionnalité, produit en croix

    • Utilisation de l'égalité  D = V × T

     

    Lors du moment de mise en commun, on pourra débattre de l'efficacité de chacune de ces techniques.

     

      Distance Durée Vitesse
    Montée 5 km 30 min 10 km/h
    Descente 5 km 10 min 30 km/h
    Aller-retour 10 km 40 min 15 km/h *

     

    * Cette grandeur pourra selon les groupes être considérée ou pas comme une donnée de l'énoncé.

     

     

    Ensuite, on pourra observer deux stratégies selon le rôle donné à la vitesse de 15 km/h

     

    • Contrôler qu’en effectuant le trajer aller-retour à 15km/h, on met bien 40 min.

    • Contrôler qu’en effecuant le trajet aller retour en 40 min, on roule bien à 15 km/h de moyenne.

     

     

    Temps de mise en commun

     

    • On comparera l'efficacité des différentes techniques de calculs mises en jeu.

    • On pourra aussi institutionnaliser le fait que la vitesse moyenne sur un trajet aller-retour n'est pas la moyenne des vitesses moyennes aller et retour.

     

     

     

    Prolongement possible

     

    On pourra alors se demander à quelle vitesse Victor et Louise auraient dû effectuer leur descente pour que leur vitesse moyenne sur le trajet aller-retour soit de 20 km/h.

     

    Si une méthode "experte" et rapide est à la portée d'une classe de 4e (Effectuer le trajet aller-retour à la vitesse moyenne de 20 km/h demande 30 min. Or le trajet aller dure déjà 30 min. Donc c'est impossible), on observe le plus souvent des élèves tâtonnant sur la vitesse retour (et réinvestissant toutes les techniques de calculs précédentes). Après quelques essais-erreurs il peut être alors interessant de leur faire automatiser leurs calculs sur un tableur. Les résutlats que celui ci donne étonnent les élèves.

     

     

    tableur

     

    Lors d'un temps de synthèse, on pourra revenir sur l'utilisation du tableur et un résultat pourra être institutionnalisé : lors d'un trajet aller-retour, la vitesse moyenne du trajet aller-retour ne peut jamais dépasser la double de la vitesse moyenne du trajet aller.

     

     

     

    Autre situation

     

     

    radars

     

     

    La vitesse de circulation sur routes est maintenant contrôlée par des radars d'un nouveau genre, les « radars tronçons ». Il s'agit de radars automatiques qui contrôlent la vitesse moyenne de circulation des véhicules sur une distance plus ou moins longue.

     

    Le fonctionnement du radar tronçon est très simple : tout d'abord, une première caméra enregistre le passage de toutes les voitures à l'entrée du tronçon contrôlé. Un ordinateur reconnaît automatiquement la plaque d'immatriculation et enregistre l'heure exacte de passage.  Il en est de même à la sortie du tronçon, une autre caméra enregistre le passage des véhicules et l'ordinateur enregistre la plaque et l'heure.

     

     

    Une zone de contrôle est étendue sur 13 km et la vitesse y est limitée à 130 km/h.

     

    Victor a parcouru les huit premiers kilomètres de la zone à la vitesse moyenne de 150 km/h avant d’abaisser sa vitesse à 100 km/h.

     

    1) Il se demande s'il sera verbalisé.

     

    2) On se demandera ensuite à quelle vitesse moyenne maximale il aurait pu rouler sur les cinq derniers kilomètres du tronçon pour ne pas être verbalisé.

     

     

     

    Documents utiles

     

     

    • Diaporama de présentation

     

    • Énoncé

     

    • Utilisation du tableur (prolongement du problème)