Raisonner, argumenter : état des lieux en mathématiques dans le secondaire
Les références :
Introduction des programmes de collège (août 2008)
Document-ressource « Raisonnement et démonstration au collège » (dgesco, juin 2009)
Document-ressource pour le lycée : « Notations et raisonnement mathématiques » (dgesco, juillet 2009)
Ce que dit le programme de collège
« La résolution de problèmes, en mathématiques, recouvre plusieurs activités qui, toutes, s’appuient sur le raisonnement de l’élève. Ces activités, parfois successives mais souvent imbriquées, peuvent se décliner en compétences :
• lire, interpréter et organiser l’information ;
• s’engager dans une démarche de recherche et d’investigation ;
• mettre en relation les connaissances acquises, les techniques et les outils adéquats pour produire une preuve ;
• communiquer par des moyens variés et adaptés – aptes à convaincre – la solution du problème. »
Le programme distingue le raisonnement – constitué de la recherche, de la découverte et de la production d’une preuve –, de la démonstration formalisée qui est la forme aboutie, structurée sous forme déductive et rédigée, de ce raisonnement.
La mise en forme écrite d’une preuve formalisée ne fait pas partie des exigibles du socle commun.
Le document-ressource « Raisonnement et démonstration au collège » rappelle que :
• raisonner en mathématiques, ce n’est pas seulement pratiquer le raisonnement déductif,
• un raisonnement déductif peut être considéré comme complet même s’il n’a pas une mise en forme canonique.
Il présente, dans le domaine scientifique, deux types de raisonnement : le raisonnement par induction et présomption ; le raisonnement déductif.
En mathématiques, un raisonnement par induction donnera lieu à une conjecture dont la véracité sera ensuite établie par un raisonnement déductif (excepté le cas de l’invalidation, par un contre-exemple, d’une propriété universelle).
Il attire l’attention des enseignants sur la différence entre argumenter et démontrer d’une part, persuader et convaincre d’autre part.
« Certains arguments peuvent nous persuader (pour une conjecture) mais ils sont trop faibles pour convaincre en mathématique car ils n’ont pas valeur de preuve. »
Une annexe « raisonner en mathématiques et ailleurs » confronte succinctement le point de vue des mathématiques à celui du français et des sciences humaines, ou celui des sciences expérimentales.
Le document-ressource « Notations et raisonnement mathématiques » présente les outils logiques permettant la construction de preuves formalisées.
1) Confronter les pratiques argumentatives des disciplines à partir du tableau suivant
Champs et enjeux |
Orientations argumentatives |
Opérations monologiques et dialogiques mises en œuvre |
Métalangage de l’argumentation |
Les enjeux de la pratique de l’argumentation en mathématiques sont d’apprendre aux élèves à (les champs sont en gras) :
- Modéliser et s’engager dans une activité de recherche (prise d’initiative)
- Conduire un raisonnement, une démonstration
- Participer à un débat scientifique (place de la parole) : la parole est libre dans ce type de débat mais ce dernier est structuré par des règles précises comme :
- un contre-exemple suffit pour invalider un énoncé, « universel ».
- pour débattre on s’appuie sur un certain nombre de propriétés ou définitions sur lesquelles on s’est mis d’accord,
- des exemples qui vérifient un énoncé « universel » ne suffisent pas à prouver qu’il est vrai,
- une constatation sur un dessin ne suffit pas à prouver qu’un énoncé est vrai.
- Pratiquer une activité expérimentale ou algorithmique (prise d’initiative)
- Faire une analyse critique d’un résultat, d’une démarche (développement de l’esprit critique)
- Pratiquer une lecture active de l’information (critique, traitement), en privilégiant les changements de registre (graphique, numérique, algébrique, géométrique) (développement de l’esprit critique)
- Utiliser les outils logiciels (ordi. ou calc.) adaptés à la résolution d’un problème (maîtrise des nouvelles technologies et prise d’initiative)
- Communiquer à l’écrit et à l’oral (maîtrise de la langue)
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Le raisonnement en mathématique est « un type particulier d’argumentation », c’est « une opération discursive par laquelle on conclut qu’une ou plusieurs propositions (prémisses) impliquent la vérité, la probabilité ou la fausseté d’une autre proposition (conclusion) ». Il est structuré en 2 phases : une phase inductive pour trouver une(des) conjecture(s) (raisonnement par induction – présomption) puis une phase déductive pour la(les) valider ou invalider. La visée du raisonnement en mathématiques est de convaincre par une suite d’arguments raisonnables un auditoire mais en visant un destinataire plus général. On ne cherche donc pas en mathématiques à persuader un destinataire particulier, individu ou groupe, dont on sollicite les attentes, les rêves ou les émotions. |
Mise en place d’opérations langagières logiques, dialogiques, stratégies argumentatives (apprendre à justifier ses idées) |
Choix lexicaux, vocabulaire de l’argumentation : Dans le raisonnement déductif formalisé (démonstration) l’argumentation se fait en général en 3 temps :
- L’énoncé des données ou hypothèses de la situation (si… quand… on sait que…) ;
- L’énoncé de la propriété qui permet de déduire des prémisses la conclusion (d’après …) ;
- La conclusion (donc… alors…).
Mais cette forme n’est pas la seule correcte, des raisonnements déductifs formalisés différemment sont travaillés et doivent être valorisés, par exemple :
- La conclusion est énoncée en premier (ce quadrilatère est un parallélogramme) ;
- Suivie des prémisses (car… parce que ces diagonales se coupent en leur milieu) et de la propriété justifiant le lien de causalité (et parce que tout quadrilatère ayant ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme).
Des raisonnements formalisés de manière incomplète ou incorrecte doivent aussi être valorisés :
- Absence de la propriété ou d’une partie des prémisses.
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2) Proposer des activités de type argumentatif par discipline (exercices, productions écrites, progressions par niveau…)
Des exemples d’activités ou de problèmes de type argumentatif en mathématiques issus du document d’accompagnement sur le raisonnement et la démonstration :
Exemple 1, à partir de la cinquième :
L’affirmation : « la somme de deux multiples de 7 est un multiple de 7 » est-elle vraie ou fausse ?
Exemples de productions d’élèves dont les commentaires sont disponibles dans le document ressource :
Exemple 2, en géométrie à partir de la quatrième :
Une corde non élastique de 101 mètres est attachée au sol entre deux piquets distants de 100 mètres. Tam tire la corde en son milieu et la lève aussi haut qu’il peut. Sachant qu’il mesure 1,68 m, peut-il passer en dessous sans se baisser ?  |
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Exemple 3, en géométrie à partir de la quatrième :
Le côté d’un losange mesure 27,4 cm et l’une de ses diagonales 42 cm. Quelle est la longueur de sa seconde diagonale ?
Des exemples de productions d’écrits intermédiaires à valoriser :
Des exemples dans lesquels les élèves doivent valider ou invalider des affirmations :
Exemple 4, à partir de la sixième :
Les propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
• Deux rectangles de même périmètre ont aussi la même aire.
• Deux rectangles de même aire ont aussi le même périmètre.
Exemple 5, à partir de la 6ème :
Si le triangle A'B'C' a deux côtés égaux respectivement à deux des côtés du triangle ABC et un angle égal à l’un des angles du triangle ABC , peut-on conclure à l’égalité des troisièmes côtés des deux triangles ?
Un exemple mobilisant le raisonnement par l’absurde :
Exemple 6, à partir de la 5ème :
Si A' est le symétrique de A par rapport à O, le quadrilatère ABA'C est-il un rectangle ?
Des exemples mobilisant le contre-exemple :
Exemple 7, à partir de la cinquième :
La somme des chiffres de 42 est un multiple de 6 et 42 est un multiple de 6 (idem pour 84).
Peut-on en déduire que si la somme des chiffres d’un nombre entier est un multiple de 6,
alors ce nombre est un multiple de 6 ?
Exemple 8 , à partir de la quatrième :
Vrai ou faux : pour tout entier n, l’entier n2 − n + 11 n’admet que deux diviseurs
Des exemples permettant de travailler l’esprit critique face à l’information et la lecture active de document :
Exemple 9, à partir de la cinquième :
Lors d’une émission télévisée, un journaliste tient les propos suivants : « Ce graphique montre qu'il y a eu une très forte augmentation du nombre de cambriolages entre 1998 et 1999. »
Considérez-vous que l’affirmation du journaliste est une interprétation correcte du graphique ? Justifiez votre réponse par une explication.
Des exemples permettant de faire travailler la logique (usage des quantificateurs, implication, équivalence, union, intersection)
Exemple 10 : en seconde
L’énoncé : « si x² > 1 alors x > 1 » est-il vrai ?
Exemple 11 : en seconde
Reformuler les énoncés suivants en faisant apparaître les quantifications.
Soit f la fonction définie sur IR par f (x) = 2 x + 5.
(Pour tout nombre réel x, l’image de x par la fonction f est égale à 2 x + 5)
L’équation f (x) = 2 x + 5 a-t-elle des solutions ?
(Existe-t-il des nombres réels x pour lesquels f (x) et 2 x + 5 sont égaux ?)
Résoudre l’équation f (x) = 2 x + 5.
(Trouver l’ensemble de tous les réels x pour lesquels f (x) et 2 x + 5 sont égaux)
Exemple 12 : en seconde
Exemple 13 : En seconde.
Un club sportif propose des cours de judo et des cours de karaté. On note :
A le groupe des adhérents inscrits au judo / B le groupe des adhérents inscrits au karaté. / C le groupe des adhérents inscrits au judo et au karaté.
D le groupe des adhérents inscrits au judo ou au karaté. / E le groupe des adhérents inscrits à un seul de ces deux sports.
Farid s’est inscrit uniquement au karaté, Katia uniquement au judo, et Léo s’est inscrit aux deux cours. De quels groupes A, B, C, D ou E chacun fait-il partie ? Myriam est dans le groupe D. Fait-elle partie du groupe des adhérents inscrits au judo ?
Des exemples sur le travail du raisonnement autour du langage courant (explicite et implicite)
Exemple 14 : en seconde
Paroles d’un père à son enfant :
(1) « Si la température dépasse 25° alors tu pourras aller te baigner ». L’enfant aura-t-il la permission de se baigner s’il fait 20° ? s’il fait 28° ?
(2) « Tu pourras aller te baigner si la température dépasse 25°». Est-ce que les phrases (1) et (2) ont la même signification dans le langage courant ?
Exemple 15 : dès la 5ème
Une réunion de cosmonautes du monde entier a lieu à Paris. Les cosmonautes américains portent tous une chemise rouge.
1. À l’aéroport on voit quelqu'un qui porte une chemise blanche. Est-il cosmonaute américain?
2. À côté de la personne précédente, on voit quelqu'un qui porte une chemise rouge. Est-il cosmonaute américain?
3. Le haut-parleur annonce l'arrivée d'un cosmonaute russe. Porte-t-il une chemise rouge ?
4. Dans le hall, on voit un cosmonaute américain qui porte un manteau. Porte-t-il une chemise rouge ?
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