Présentation de l’activité

On fixe par leurs milieux deux baguettes* en plastique et on trace le quadrilatère formé par leurs quatre extrémités...

* cette expérience est à réaliser à l'aide des "géo-règles", disponibles à la vente ici.

Public

Cette situation est prévue pour des classes de 5e.

Objectifs

•  Découvrir par l'expérience le parallélogramme et conjecturer quelques unes de ses propriétés.

•  Expérimenter autour de ces conjectures.

Pré-requis

Mathématiques

• Notion élémentaire de géométrie (6e)

T.I.C.E.

•  Construction de figures simples à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique

Déroulement de l’activité

Présentation

On mettra à disposition de chaque élève :

• une feuille de papier A3

• un lot d'un dizaine de baguettes en plastique

• une attache parisienne

On demande aux élèves de réaliser une expérience :

• choisir deux baguettes,

• les fixer par leurs milieux à l'aide de l'attache parisienne,

• déposer l'ensemble sur la feuille de papier et marquer au feutre les quatre extrémités,

• tracer le quadrilatère formé par ces quatre points et le découper.

Temps de recherche

On laisse les élèves réaliser leurs constructions en veillant à ce que le protocole soit bien suivi.

Si un élève choisi deux baguettes identiques, on le laisse finir et on l'incite à renouveler ensuite son expérience avec deux baguettes de longueurs différentes.

Bilan intermédiaire

Lorsque l'expérience aura été réalisée par l'ensemble des élèves, on scotchera au tableau quelques uns des quadrilatères obtenus.

On questionnera :

"Vous ayez tous choisis des baguettes de longueurs différentes.

Vous les ayez tous orientés comme vous le souhaitiez.

La seule commande imposée était de les fixer par leurs milieux

Vous obtenez tous des quadrilatères différents.

Et pourtant... tous ces quadrilatères ont des points communs. Lesquels ?"

On fera ainsi émerger que les quadrilatères obtenus ont

• des côtés opposés parallèles

• des côtés opposés de mêmes longueurs

• des angles opposés de mêmes mesures

 On relance l'étude :

"Parmi les quadrilatères restés sur vos tables, y en a t-il qui ne respectent pas ces propriétés ?"

"En réalisant à nouveau l'expérience avec d'autres baguettes (des plus petites, des plus grandes...) pourriez vous arriver à fabriquer un quadrilatère :

• qui n'ait pas ses côtés opposés parallèles ?

• qui n'ait pas ses côtés opposés de mêmes longueurs ?

• qui n'ait pas ses angles opposés de mêmes mesures ?"

Temps de recherche

Lorsqu'un élève est convaincu de l'impossibilité d'arriver à produire de tels quadrilatères, on prolonge son travail.

"Comment se convaincre qu'un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leurs milieux a toujours ses côtés opposés parallèles, de même longueurs et ses angles opposés de mêmes mesures ?"

"Pourrait-on contrôler avec davantage de précision les longueurs des côtés ? les mesures des angles ? le parallélisme ?"

La nécessité d'expérimenter plus précisément et sur davantage de spécimens justifie l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique.

L'expérimentation de ces conjectures avec Géogébra demande aux élèves de bien distinguer ce qu'il y a à construire de ce qu'il y a à contrôler.

Pour différencier le travail entre les élèves, on pourra pour certains, limiter les menus aux outils nécessaires.

A construire : le quadrilatère formé par les quatre extrémités de deux segments se coupant en leurs milieux. S'il est disponible, l'outil "symétrie centrale" permet d'arriver rapidement à une telle figure. A défaut, on utilisera les outils "milieu" et "cercle".

A contrôler : le parallélisme des côtés opposés (par exemple, en prolongeant les côtés à l'aide de droites et en constatant que leurs points d'intersections ne sont pas définis), l'égalité des longueurs des côtés opposés, l'égalité des mesures des angles opposés.

Bilan final

On revient sur la construction avec Géogébra.

On pourra ensuite :

- soit institutionnaliser qu'un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leurs milieux a aussi ses côtés opposés parallèles (un parallélogramme), de même longueurs et ses angles opposés de mêmes mesures.

- soit démontrer ses propriétés, si les éléments technologiques disponibles dans la classe le permettent. Dans ce cas, il faudra rappeler les règles du jeu mathématique : "Comment, sans géogébra, sans faire de figure, simplement en utilisant nos connaissances en mathématiques, aurait-on pu contrôler ce résultat ?"

Prolongements possibles

On pourra questionner et poursuivre l'expérimentation avec Géogébra sur les propriétés réciproques afin d'établir l'équivalence entre toutes.

• "Un quadrilatère qui a ses côtés opposés de mêmes longueurs a t-il toujours ses diagonales qui se coupent en leurs milieux, ses côtés opposés parallèles et ses angles opposés de mêmes mesures ?"

• "Un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles a t-il toujours ses diagonales qui se coupent en leurs milieux, ses côtés opposés de mêmes longueurs et ses angles opposés de mêmes mesures ?"

• "Un quadrilatère qui a ses angles opposés de mêmes mesures a t-il toujours ses diagonales qui se coupent en leurs milieux, ses côtés opposés parallèles et de mêmes longueurs ?"

Les élèves pourront ensuite réinvestir leurs connaissances sur le parallélogramme grace à l'activité : constructions de figures simples, sous contraintes.

Plus tard dans l'année, on pourra faire rencontrer les parallélogrammes particuliers avec l'activité : les baguettes #2.

Documents utiles

• Fichier Géogébra "parallélogramme"